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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 8

8. y = ln x , sqrt(3) <= x <= sqrt(8)

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = ln x

(d y)/(d x) = (1)/(x)

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((1)/(x))^2

= 1 + (1)/(x^2)

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = int_(sqrt(3))^(sqrt(8)) sqrt(1 + (1)/(x^2)) d x

= int_(sqrt(3))^(sqrt(8)) sqrt((x^2 + 1)/(x^2)) d x

= int_(sqrt(3))^(sqrt(8)) (sqrt(x^2 + 1))/(x) d x

Usando o método de substituição:

u = sqrt(x^2 + 1)

d u = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Substituindo na integral, temos:

int (u^2)/(u^2 - 1) d u

Vamos somar escrever u^2 como u^2 + 1 - 1 para poder prosseguir com a resolução. (Infelizmente é o único jeito)

int (u^2 - 1)/(u^2 - 1) + (1)/(u^2 - 1) d u

int 1 + (1)/(u^2 - 1) d u

= u + int (1)/(u^2 - 1) d u

= u + int (1)/((u - 1) (u + 1)) d u

Usando o método de frações parciais, teremos:

= u + int ((1)/(2 (u - 1)) - (1)/(2 (u + 1))) d u

= u + (1)/(2) int (1)/(u - 1) d u - (1)/(2) int (1)/(u + 1) d u

= u + (1)/(2) ln | u - 1 | - (1)/(2) ln |u + 1| + c

Passo 4

Voltando com u = sqrt(x^2 + 1)

s = (sqrt(x^2 + 1) + (1)/(2) ln | sqrt(x^2 + 1) - 1 | - (1)/(2) ln |sqrt(x^2 + 1) + 1||_(√ 3)^(√ 8)

s = (sqrt(x^2 + 1) + (1)/(2) ln |(sqrt(x^2 + 1) - 1)/(sqrt(x^2 + 1) + 1)||_(√ 3)^(√ 8)

s = 3 + (1)/(2) ln (2)/(4) - 2 - (1)/(2) ln (1)/(3)

s = 1 + (1)/(2) ln (3)/(2)

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  1 + (1)/(2) ln (3)/(2) .

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