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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 12

12. y = 6 ( root(3)(x^2) - 1 ) d e P_0 (1 , 0) a t é P_1 ( 2 √ 2 , 6 ) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = 6 ( root(3)(x^2) - 1 )

(d y)/(d x) = 6 * (1)/(3) * (2 x)/(x^((2)/(3))) = 4 x^(- (1)/(3))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + (4 x^(- (1)/(3)))^2

= 1 + 16 x^(- (2)/(3))

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

(x , y) = (1 , 0) -> ( 2 sqrt(2) , 6 )

Assim, temos o intervalo de 0 a 1.

s = int_1^(2 sqrt(2)) sqrt(1 + (16)/(x^((2)/(3)))) d x

Vamos resolver utilizando integrais por partes, tendo:

u = root(3)(x)

3 x^((2)/(3)) d u = d x

Assim,

= 3 int u sqrt(u^2 + 16) d u

Agora, devemos fazer a segunda substituição:

v = u^2 + 16

(1)/(2 u) d v = d u

Portanto,

= (1)/(2) int sqrt(v) d v

= (1)/(2) * (2 v^((3)/(2)))/(3)

= (v^((3)/(2)))/(3)

Substituindo v = u^2 + 16

= ((u^2 + 16)^((3)/(2)))/(3)

Substituindo u = root(3)(x)

= (x^((2)/(3)) + 16)^((3)/(2))

Passo 4

Voltando com os valores de integração inicial, temos

((x^((2)/(3)) + 16)^((3)/(2))|_1^(2 √ 2) =

= (16 + (2 sqrt(2))^(- (2)/(3)))^((3)/(2)) - 17^((3)/(2))

= (16 + (1)/((2 sqrt(2))^((2)/(3))))^((3)/(2)) - 17 sqrt(17)

= (16 + (1)/(2))^((3)/(2)) - 17 sqrt(17)

= (4096 + (1)/(8))^((1)/(2)) - 17 sqrt(17)

= 18 sqrt(18) - 17 sqrt(17)

= 54 sqrt(2) - 17 sqrt(17)

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é 54 sqrt(2) - 17 sqrt(17) .

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