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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 7

7. y = (1)/(2) (e^x + e^(- x)) d e (0,1) a ( 1 , (e^x + e^(- 1))/(2) )

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = (1)/(2) (e^x + e^(- x))

(d y)/(d x) = (1)/(2) (e^x + e^(- x))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((1)/(2) (e^x + e^(- x)))^2

= 1 + (1)/(4) * (e^x + e^(- x))^2

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = int_0^1 sqrt(1 + (1)/(4) * (e^x + e^(- x))^2) d x

= int_0^1 sqrt(1 + (1)/(4) * ( e^(2 x) - 2 . e^x * e^(- x) + e^(- 2 x) )) d x

= int_0^1 sqrt(1 + (1)/(4) * ( e^(2 x) - 2 + e^(- 2 x) )) d x

= int_0^1 sqrt(1 + (1)/(4) e^(2 x) - (1)/(2) + (1)/(4) e^(- 2 x)) d x

= int_0^1 sqrt((4 + e^(2 x) - 2 + e^(- 2 x))/(4)) d x

= (1)/(2) int_0^1 sqrt(2 + e^(2 x) + e^(- 2 x)) d x

(e^(2 x) + 1)^2 = e^(4 x) + 2 e^(2 x) + 1

(e^(4 x) + 2 e^(2 x) + 1)/(e^(2 x)) = e^(2 x) + 2 + (1)/(e^(2 x))

= (1)/(2) int_0^1 sqrt((1)/(e^(2 x)) (e^(2 x) + 1)^2) d x

= (1)/(2) int_0^1 (1)/(e^x) * ( e^(2 x) + 1 ) d x

= (1)/(2) int_0^1 e^x + e^(- x) d x

Usando a identidade: e^x + e^(- x) = 2 c o s h ( x )

= (1)/(2) int_0^1 2 cosh (x) d x

= |s e n h ( x )|_0^1

= sen h 1

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  sen h 1 .

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