7.y = 1 / 2 (e^x + e^(-x)) de 0,1 a (1, (e^x + e^(-1)) / 2)

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = 1 2 e x + e - x

d y d x = 1 2 e x + e - x

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 1 2 e x + e - x 2

= 1 + 1 4 ⋅ e x + e - x 2

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = ∫ 0 1 1 + 1 4 ⋅ e x + e - x 2   d x

= ∫ 0 1 1 + 1 4 ⋅ ( e 2 x - 2 . e x ⋅ e - x + e - 2 x )   d x

= ∫ 0 1 1 + 1 4 ⋅ ( e 2 x - 2 + e - 2 x )   d x

= ∫ 0 1 1 + 1 4 e 2 x - 1 2 + 1 4 e - 2 x   d x

= ∫ 0 1 4 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4 d x

= 1 2 ∫ 0 1 2 + e 2 x + e - 2 x d x

e 2 x + 1 2 = e 4 x + 2 e 2 x + 1

e 4 x + 2 e 2 x + 1 e 2 x = e 2 x + 2 + 1 e 2 x

= 1 2 ∫ 0 1 1 e 2 x e 2 x + 1 2 d x

= 1 2 ∫ 0 1 1 e x ⋅ ( e 2 x + 1 ) d x

= 1 2 ∫ 0 1 e x + e - x   d x

Usando a identidade: e x + e - x = 2 c o s h ⁡ ( x )

= 1 2 ∫ 0 1 2 cosh ⁡ x d x

= s e n h ( x ) 0 1  

= sen ⁡ h   1

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  sen ⁡ h   1 .

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