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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 6

6. x = (1)/(3) y^3 + (1)/(4 y) , 1 <= y <= 3

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

x = (1)/(3) y^3 + (1)/(4 y)

(d y)/(d x) = (1)/(3) * 3 y^2 + (1)/(4) (- 1) * y^(- 2)

= y^2 - (1)/(4 y^2)

= (4 y^4 - 1)/(4 y^2)

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((4 y^2 - 1)/(4 y^2))^2

= 1 + (16 y^8 - 8 y^4 + 1)/(16 y^4)

= (16 y^4 + 16 y^8 - 8 y^4 + 1)/(16 y^4)

= (16 y^8 + 8 y^4 + 1)/(16 y^4)

= ((4 y^4 - 1)^2)/(16 y^4)

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = int_1^3 sqrt(((4 y^4 - 1)^2)/(16 y^4)) d y

= int_1^3 (4 y^4 - 1)/(16 y^4) d y

= int_1^3 y^2 - (1)/(4 y^2) d y

= [(y^3)/(3) - (1)/(4 y)]_1^3

= (3)/(3) - (1)/(3) - (1)/(12) + (1)/(4)

= (53)/(6)

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  (53)/(6) .

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