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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 28

28. Seja f (x , y) = {[[(x y)/(x^2 + y^2)],[0]]) (s e ( x , y ) != ( 0,0 ))/(s e (x , y) = ( 0,0 )) calcular (del f)/(del x) e (del f)/(del y) .

Passo 1

Para ( x , y ) != ( 0,0 )

Nesse caso iremos utilizar a regra do quociente.

(del f)/(del x) = ((x^2 + y^2) y - x y (2 x))/((x^2 + y^2)^2)

= (x^2 y + y^3 - 2 x^2 y)/((x^2 + y^2)^2)

= (y^3 - x^2 y)/((x^2 + y^2)^2)

(del f)/(del y) = ((x^2 + y^2) x - x y (2 y))/((x^2 + y^2)^2)

= (x^3 + x y - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

= (x^3 - x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 2

Para ( x , y ) = ( 0,0 )

(del f)/(del x) (0,0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (0 + Delta x , 0) - f (0,0))/(Delta x)

= underset(Delta x -> 0)(l i m) (((Delta x * 0)/((Delta x)^2 + 0^2) - 0)/(Delta x)) = 0

(del f)/(del y) (0,0) = underset(Delta y -> 0)(lim) (f (0,0 + Delta y) - f (0,0))/(Delta y) = 0

Resposta

(del f)/(del x) = {[[(y^3 - x^2 y)/((x^2 + y^2)^2)],[0]]) (, ( x , y ) != ( 0,0 ))/(, (x , y) = ( 0,0 ))

(del f)/(del y) = {[[(x^3 - x y^2)/((x^2 + y^2)^2)],[0]]) (, ( x , y ) != ( 0,0 ))/(, (x , y) = ( 0,0 ))

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29. Seja f x , y =5 x y 2 x 2 + y 2 0 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) s e x , y = ( 0,0 ) calcular f 1,2 - ∂ f ∂ x 1,2 + ∂ f ∂ y 1,2 - ∂ f ∂ x ( 0,0 ) .
26. z = x 2 + y 2 - ( x 2 + y 2 )