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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 28

28. Seja f (x , y) = {[[(x y)/(x^2 + y^2)],[0]]) (s e ( x , y ) != ( 0,0 ))/(s e (x , y) = ( 0,0 )) calcular (del f)/(del x) e (del f)/(del y) .

Passo 1

Para ( x , y ) != ( 0,0 )

Nesse caso iremos utilizar a regra do quociente.

(del f)/(del x) = ((x^2 + y^2) y - x y (2 x))/((x^2 + y^2)^2)

= (x^2 y + y^3 - 2 x^2 y)/((x^2 + y^2)^2)

= (y^3 - x^2 y)/((x^2 + y^2)^2)

(del f)/(del y) = ((x^2 + y^2) x - x y (2 y))/((x^2 + y^2)^2)

= (x^3 + x y - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

= (x^3 - x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 2

Para ( x , y ) = ( 0,0 )

(del f)/(del x) (0,0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (0 + Delta x , 0) - f (0,0))/(Delta x)

= underset(Delta x -> 0)(l i m) (((Delta x * 0)/((Delta x)^2 + 0^2) - 0)/(Delta x)) = 0

(del f)/(del y) (0,0) = underset(Delta y -> 0)(lim) (f (0,0 + Delta y) - f (0,0))/(Delta y) = 0

Resposta

(del f)/(del x) = {[[(y^3 - x^2 y)/((x^2 + y^2)^2)],[0]]) (, ( x , y ) != ( 0,0 ))/(, (x , y) = ( 0,0 ))

(del f)/(del y) = {[[(x^3 - x y^2)/((x^2 + y^2)^2)],[0]]) (, ( x , y ) != ( 0,0 ))/(, (x , y) = ( 0,0 ))

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21. z = sqrt(x^2 + y^2 - 1)
19. z = 2 x y + sen^2 x y
12. z = sqrt(a^2 - x^2 - y^2)
29. Seja f (x , y) = {[[(5 x y^2)/(x^2 + y^2)],[0]]) (s e ( x , y ) != ( 0,0 ))/(s e (x , y) = ( 0,0 )) calcular f (1,2) - (del f)/(del x) (1,2) + (del f)/(del y) (1,2) - (del f)/(del x) ( 0,0 ) .
26. z = sqrt(x^2 + y^2) - ( x^2 + y^2 )