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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 11

Sejam F →   e   G → dois campos vetoriais definidos no aberto Ω ⊂   R 3 , cujas coordenadas admitem derivadas parciais em Ω . Prove que:

d i v   F → ∧ G → = G → ⋅ ∇ ∧ F → - F → ⋅ ∇ ∧ G →

Passo 1

Vamos começar montando F → ∧ G → , considerando F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3   e   G → = G 1 ,   G 2 , G 3 :

F → ∧ G → = i → j → k → F 1 F 2 F 3 G 1 G 2 G 3

E daqui temos:

= F 2 G 3 - F 3 G 2 i → + F 3 G 1 - F 1 G 3 j → + F 1 G 2 - F 2 G 1 k →

Fazendo o divergente disso agora...

d i v   F → ∧ G → = ∂ ∂ x F 2 G 3 - F 3 G 2 + ∂ ∂ y F 3 G 1 - F 1 G 3 + ∂ ∂ z F 1 G 2 - F 2 G 1

Vamos desenvolver isso agora...

Passo 2

Pela regra da cadeia, ficamos com:

= F 2 ∂ G 3 ∂ y + ∂ F 2 ∂ x G 3 - F 3 ∂ G 2 ∂ x - ∂ F 3 ∂ x G 2 + F 3 ∂ G 1 ∂ y ∂ + ∂ F 3 ∂ y G 1 - F 1 ∂ G 3 ∂ y - ∂ F 1 ∂ y G 3 + F 1 ∂ G 2 ∂ z + ∂ F 1 ∂ z G 2 - F 2 ∂ G 1 ∂ z - ∂ F 2 ∂ z G 1

Vamos reagrupar isso mais bonitinho agora...

= G 1 ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z + G 2 ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x + G 3 ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y + F 1 ∂ G 2 ∂ z - ∂ G 3 ∂ y + F 2 ∂ G 3 ∂ x - ∂ G 1 ∂ z + F 3 ∂ G 1 ∂ y - ∂ G 2 ∂ x

Passo 3

Mais uma reagrupada agora...

= G 1 ,   G 2 ,   G 3 ⋅   ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y + F 1 ,   F 2 , F 3 ⋅ ∂ G 2 ∂ z - ∂ G 3 ∂ y , ∂ G 3 ∂ x - ∂ G 1 ∂ z , ∂ G 3 ∂ x - ∂ G 1 ∂ z      

Isso é o mesmo que:

G → ∇ ∧ F → -   F → ∇ ∧ G →

Ou seja, provamos que:

d i v   F → ∧ G → = G → ⋅ ∇ ∧ F → - F → ⋅ ∇ ∧ G →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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