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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 6

Dizemos que a sequência de pontos x n ,   y n n converge para ( x - , y - ) e dado ϵ > 0 , existe um natural n 0 tal que

n > n 0 ⇒   x n ,   y n - ( x - , y - ) < ϵ

Suponha que f ( x , y ) seja contínua em ( x - , y - ) e que x n ,   y n n converge para ( x - , y - ) e que x n ,   y n n ∈ D f para todo n ≥ 0 . Prove que a sequência dada por a n =   f x n ,   y n n   converge para f x - , y -   .

Passo 1

Por hipótese

Dado ϵ > 0 ,   existe n 0 ∈ N tal que

x n ,   y n - ( x - , y - ) < ϵ

Como f é contínua, dado ϵ 1 > 0   existe δ > 0 tal que sempre que

x   ,   y   - x 1 , y 1 < δ

Temos que

f x   ,   y   - f x 1 , y 1 < ϵ                                                                                       ( * )

Como x n ,   y n ∈ D f ,   tomando ϵ = δ , temos que

x n ,   y n - ( x - , y - ) < δ

E, por (*)

f x n ,   y n - f ( x - , y - ) < ϵ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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37. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1 s ex , y = ( 0,0 )