Dizemos que a sequência de pontos (x_n, y_n)_n converge para (x̄, ȳ) e dado epsilon > 0 , existe um natural n_0 tal que

n > n_0 => ‖(x_n, y_n) - (x^-, y^-)‖ < epsilon

Suponha que f(x, y) seja contínua em (x̄, ȳ) e que (x_n, y_n)_n converge para (x̄, ȳ) e que (x_n, y_n)_n ∈ D_f para todo n >= 0 . Prove que a sequência dada por a_n = f(x_n, y_n)_n converge para f(x̄, ȳ) .

Passo 1

Por hipótese

Dado ϵ > 0 ,   existe n 0 ∈ N tal que

x n ,   y n - ( x - , y - ) < ϵ

Como f é contínua, dado ϵ 1 > 0   existe δ > 0 tal que sempre que

x   ,   y   - x 1 , y 1 < δ

Temos que

f x   ,   y   - f x 1 , y 1 < ϵ                                                                                       ( * )

Como x n ,   y n ∈ D f ,   tomando ϵ = δ , temos que

x n ,   y n - ( x - , y - ) < δ

E, por (*)

f x n ,   y n - f ( x - , y - ) < ϵ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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