Dê o domínio e esboce o gráfico.

s f(x) = |2x + 1| / (2x + 1)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Bora lá?

Para esboçar o domínio precisamos pensar se essa função “falha” para algum valor de x . Mas como assim?

Bom, sabemos de duas grandes “falhas” da matemáticas:

Divisão por zero

Raiz (de índice par) negativa.

Daí para dar o domínio da função basta identificar se alguma dessas situações pode acontecer na função que temos.

Dá uma espiada lá na função. Xiiii, temos um x no denominador! Aqui atenção! Uma as regras é que o denominador não pode assumir o valor zero. Então o denominador deve ser ≠ 0 :

2 x + 1 ≠ 0 ∴ x ≠ - 1 / 2

Logo temos que a função f ( x ) falha quando temos x = - 1 / 2 . Mas e em outros lugares? Outros lugares não temos indeterminação, portanto ela pode assumir todos os outros valores de x =)

Com isso o domínio dessa função são quase todos os números reais, A NÃO SER pelo valor x = - 1 / 2 , que deve ser retirado!

Assim temos:

D o m f = R - - 1 2

Uma outra forma de escrever é:

D o m f = { x ∈ R / x ≠ - 1 / 2 }  

Passo 2

Como relembrar é viver, vamos revisar as propriedades da função modular?

Sendo a função modular f x = | x | , ela é definida da seguinte forma:

f x = x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x ≤ 0

Ela tem duas caras: uma antes de zero e outra depois.

Assim a função f ( x ) de - ∞ até x = - 1 / 2   (que é onde ela muda de “cara”) vai ser:

f x - = - ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) = - 1

E de - 1 / 2 até + ∞ vale:

f x + = + ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) = + 1

Mas aqui atenção!! A bolinha em x = - 1 / 2 deve ser aberta, pois ali a função não está definida!!

Então daqui tiramos que a função assume o valor de - 1 até o zero e depois “pula” para 1 . Vamos ver como fica no gráfico?

Passo 3

Colocando as informações que a gente viu no passo anterior num gráfico temos:

Notem que a bolinha é aberta em x = - 1 / 2 e que ali a função apresenta um salto de - 1 para + 1 . Ok?

É isso pessoal, vamos pra próxima questão?

Resposta

D o m f = { x ∈ R / x ≠ - 1 / 2 }  

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