Dê o domínio e esboce o gráfico.

a * y = raiz(2 + x^2)

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Vamos começar multiplicando e dividindo sqrt(2 + x^2) - |x| pelo conjugado:

sqrt(2 + x^2) - |x| = sqrt(2 + x^2) - |x| . ((sqrt(2 + x^2) + |x|)/(sqrt(2 + x^2) + |x|)) = ((sqrt(2 + x^2))^2 - (|x|)^2)/(sqrt(2 + x^2) + |x|) = (2 + x^2 - x^2)/(sqrt(2 + x^2) + |x|)

E simplificando o numerador temos:

sqrt(2 + x^2) - |x| = (2)/(sqrt(2 + x^2) + |x|)

Agora vamos pensar o seguinte: à medida que | x | vai se tornando cada vez maior, o denominador da fração (1)/(sqrt(2 + x^2) + |x|) vai se tornando cada vez maior, e a fração vai se tornando cada vez mais próxima de zero.

Ou seja, à medida que | x | cresce, a diferença sqrt(2 + x^2) - |x| vai se aproximando cada vez mais de zero!

Como sqrt(2 + x^2) >= | x | , isso significa que à medida que | x | cresce, o gráfico de y = sqrt(2 + x^2) vai encostando por cima do gráfico de y = | x | .

Esse é o mesmo raciocício feiro na questão 16 . Se você não lembra, dá uma espiadinha lá =D

Passo 2

O domínio dessa função vão ser todos os reais, pois não há valor de x capaz de tornar inválida a função. O domínio pode ser expresso da seguinte forma:

D = R

Passo 3

E o esboço? Bom, ele vai ser bem parecido com o esboço do gráfico do exercício 16 , no entanto o ponto no qual a função vai cortar o eixo y será outro:

y = sqrt(2 + 0^2) = sqrt(2)

Então temos ( 0 , sqrt(2) ) . Assim o esboço vai ser:

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

D = R

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