20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f ∂ z 1,1 , 3 = 10 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto 1,1 , 3 .

z - 3 = - 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 20

20. e são funções diferenciáveis tais que, para todo no domínio de . . Suponha , , e . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 1

Como queremos o plano tangente ao gráfico de no ponto. Precisamos achar o vetor normal ao plano. Para isso, vamos achar o vetor gradiente no ponto ). Vem comigo!

Achando o gradiente:

Derivando em relação a :

Como a derivada de uma constante é :

Aplicando a derivada e usando a regra da cadeia, temos:

Isolando o termo :

Passo 2

Como queremos saber a equação do plano tangente no ponto basta acharmos um ponto da curva. Olha só:

Usando o resultado do Passo 1:

Com os dados do enunciado:

Agora vamos achar

Substituindo os dados:

Pra acabar, vamos achar

Passo 3

Então, o vetor gradiente fica:

Substituindo os dados do Passo 2:

Como vetor gradiente é o normal ao plano:

Agora é só achar o plano.

Isto é,

Fazendo o produto escalar:

Logo,

Resposta

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Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .

Admita que, para todo (x , y) . x (del f)/(del x) (x , y) - y (del f)/(del y) (x , y) = 0 . Mostre que g (t) = f (t , (2)/(t)) , t0 , é constante.

Admita que, para todo ( x , y ) ,4 y (del f)/(del x) (x , y) - x (del f)/(del y) (x , y) = 2 . Calculeg^' (t) , sendo g (t) = f (2 c o s t , s e n t) .

A imagem da curva γ t = 2 t , t 2 , z t está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 . Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 )

Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor