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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 20

20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,   g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f ∂ z 1,1 , 3 = 10 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto 1,1 , 3 .

Passo 1

Como queremos o plano tangente ao gráfico de f no ponto   1,1 , 3 . Precisamos achar o vetor normal ao plano. Para isso, vamos achar o vetor gradiente no ponto ( 1,1 , 3 ). Vem comigo!

F x , y , z = x , y ,   g x , y

Achando o gradiente:

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   1

Derivando em relação a x :

∂ ∂ x f x , y ,   g x , y = ∂ ∂ x 0

Como a derivada de uma constante é 0 :

∂ ∂ x f x , y ,   g x , y = 0

Aplicando a derivada e usando a regra da cadeia, temos:

∂ f ∂ x x , y ,   g x , y + ∂ f ∂ z x , y ,   g x , y × ∂ g ∂ x = 0

Isolando o termo ∂ g ∂ x :

∂ g ∂ x = - ∂ f ∂ x x , y ,   g x , y ∂ f ∂ z x , y ,   g x , y

Passo 2

Como queremos saber a equação do plano tangente no ponto 1,1 , 3 basta acharmos um ponto da curva. Olha só:

Usando o resultado do Passo 1:

∂ g ∂ x 1,1 = - ∂ f ∂ x 1,1 ,   g 1,1 ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1

Com os dados do enunciado:

∂ g ∂ x 1,1 = - 1 5

Agora vamos achar ∂ g ∂ y 1,1 :

∂ g ∂ y 1,1 = ∂ f ∂ y 1,1 ,   g 1,1 ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1

Substituindo os dados:

∂ g ∂ y 1,1 = - 1 2

Pra acabar, vamos achar ∂ g ∂ z 1,1 :

∂ g ∂ z 1,1 = - ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1 ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1 = - 1

Passo 3

Então, o vetor gradiente fica:

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   - 1

Substituindo os dados do Passo 2:

∇ F x , y , z = - 1 5 ,   - 1 2 ,   - 1

Como vetor gradiente é o normal ao plano:

n → = - 1 5 ,   - 1 2 , -   1

Agora é só achar o plano.

n → ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 3 = 0

Isto é,

- 1 5 ,   - 1 2 ,   - 1 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 3 = 0

Fazendo o produto escalar:

- 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1 - z - 3 = 0

Logo,

z - 3 = - 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1

Resposta

z - 3 = - 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1

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Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .
Admita que, para todo x , y . x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0 . Mostre que g t = f t , 2 t ,t0 , é constante.
Admita que, para todo ( x , y ) , 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2 . Calculeg ' t , sendo g t = f 2 c o s t , s e n t .
A imagem da curva γ t = 2 t , t 2 , z t está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 . Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 )
Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor