20. f(x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no domínio de g . f(x, y, g(x, y)) = 0 . Suponha g(1,1) = 3 , ∂f/∂x|1,1,3 = 2 , ∂f/∂y(1,1, 3) = 5 e ∂f/∂z | 1,1,3 = 10 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1,1, 3) .

Passo 1

Como queremos o plano tangente ao gráfico de f no ponto   1,1 , 3 . Precisamos achar o vetor normal ao plano. Para isso, vamos achar o vetor gradiente no ponto ( 1,1 , 3 ). Vem comigo!

F x , y , z = x , y ,   g x , y

Achando o gradiente:

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   1

Derivando em relação a x :

∂ ∂ x f x , y ,   g x , y = ∂ ∂ x 0

Como a derivada de uma constante é 0 :

∂ ∂ x f x , y ,   g x , y = 0

Aplicando a derivada e usando a regra da cadeia, temos:

∂ f ∂ x x , y ,   g x , y + ∂ f ∂ z x , y ,   g x , y × ∂ g ∂ x = 0

Isolando o termo ∂ g ∂ x :

∂ g ∂ x = - ∂ f ∂ x x , y ,   g x , y ∂ f ∂ z x , y ,   g x , y

Passo 2

Como queremos saber a equação do plano tangente no ponto 1,1 , 3 basta acharmos um ponto da curva. Olha só:

Usando o resultado do Passo 1:

∂ g ∂ x 1,1 = - ∂ f ∂ x 1,1 ,   g 1,1 ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1

Com os dados do enunciado:

∂ g ∂ x 1,1 = - 1 5

Agora vamos achar ∂ g ∂ y 1,1 :

∂ g ∂ y 1,1 = ∂ f ∂ y 1,1 ,   g 1,1 ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1

Substituindo os dados:

∂ g ∂ y 1,1 = - 1 2

Pra acabar, vamos achar ∂ g ∂ z 1,1 :

∂ g ∂ z 1,1 = - ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1 ∂ f ∂ z 1,1 ,   g 1,1 = - 1

Passo 3

Então, o vetor gradiente fica:

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   - 1

Substituindo os dados do Passo 2:

∇ F x , y , z = - 1 5 ,   - 1 2 ,   - 1

Como vetor gradiente é o normal ao plano:

n → = - 1 5 ,   - 1 2 , -   1

Agora é só achar o plano.

n → ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 3 = 0

Isto é,

- 1 5 ,   - 1 2 ,   - 1 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 3 = 0

Fazendo o produto escalar:

- 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1 - z - 3 = 0

Logo,

z - 3 = - 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1

Resposta

z - 3 = - 1 5 x - 1 - 1 2 y - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados