Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 41
Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!
Determinar derivadas parciais não é segredo, a gente fixa as variáveis que não estão envolvidas na derivação e finge que elas são valores constantes.
Ou seja: Para achar a derivada parcial em a gente trataria como se fosse um número qualquer e derivaríamos normal em relação a .
Nesse caso a questão vai além e pede pra encontramos uma derivada parcial em e num ponto específico, mas isso também não é problema: Quando tivermos a nossa derivada só precisamos substituir esse ponto!
Passo 2
Recapitulando, temos a função
E queremos no ponto .
Inicialmente, para encontrar vamos seguir o processo padrão para encontrar uma derivada parcial: Derivar em relação a , fixando a variável como valor constante.
Dessa forma teríamos a seguinte função
Onde desejamos
Mas veja que, mesmo com como constante, precisaremos usar a regra da cadeia para resolver essa derivada.
Recapitulando:
A regra da cadeia nos diz o seguinte:
Se temos uma função
Onde podemos chamar
A derivada dessa função vai ser dada por:
Assim, para esse caso temos o seguinte:
Veja que precisaremos usar a regra da cadeia mais uma vez:
Voltando pra derivada em que paramos, agora temos:
E, por fim:
Uma vez determinada a derivada parcial em relação a , basta substituir o nosso ponto 3,4: