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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 2

Encontrando momentos de inercia: encontre os momentos de inercia em relação aos eixos coordenados de uma placa fina retangular de densidade constante δ delimitada pelas curvas x = 3 e y = 3 no primeiro quadrante

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que a área delimitada pelas retas é tal que:

x ∈ 0,3   e   y ∈ 0,3

Logo temos que:

I x = ∬ y 2 δ   d x d y

I y = ∬ x 2 δ d y d x

M = ∬ δ d x d y

Passo 2

Assim:

I x = ∫ 0 3 ∫ 0 3 y 2 δ d x d y

Dado que δ = c o n s t a n t e , tanto para x como para y:

I x = δ ∫ 0 3 y 2 x 0 3 d y

I x = δ ∫ 0 3 3 y 2 d y

I x = δ ( y 3 0 3

I x = 27 δ

E por simetria temos que:

s e   I x = δ ∫ 0 3 ∫ 0 3 y 2 d x d y

Logo

I y = δ ∫ 0 3 ∫ 0 3 y 2 d y d x

São iguais, logo I x = I y = 27 δ

Passo 3

E para M:

M = ∬ δ d x d y

M = δ ∫ 0 3 ∫ 0 3 d x d y

M = δ ∫ 0 3 ( x 0 3 d y

M = 3 δ y 0 3

M = 9 δ

Resposta

I x = I y = 27 δ

M = 9 δ

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é limitado pelo cilindro parabolóico z = 1 - y 2 e pelos planos x + z = 1 , x = 0 e z = 0 ; ρ x , y , z = 4
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z .
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a( a0 ) , se S tem densidade constante K .