Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 2
Encontrar a equação da reta tangente à curva , que seja perpendicular à reta .
Passo 1
Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:
Onde representa o ponto desejado.
Uma reta perpendicular à reta tangente em um dado ponto, o coeficiente angular é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente. Ou seja:
Passo 2
Temos que calcular então a derivada da curva . Calculando a derivada temos:
A derivada de é
Passo 3
O coeficiente da reta perpendicular é . O coeficiente da reta tangente é será ou seja: .
Com o coeficiente angular, podemos encontrar os pontos pelo qual essas retas tangentes passam. Para isso igualamos o coeficiente encontrado com a primeira derivada da curva:
Resolvendo isso temos:
Passo 4
Substituindo na equação da curva, teremos os pontos para encontrar as retas tangentes.
Para :
Temos então que uma reta tangente tem coeficiente angular é passa pelo ponto .
Para :
Temos então que a outra reta tangente tem coeficiente angular é passa pelo ponto .
Passo 5
Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:
Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Temos que o e temos que uma reta passa pelo ponto , e a outra passa pelo ponto , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar para cada uma das retas.
Para o ponto :
O coeficiente linear de uma reta é , assim a equação da reta é:
Para o ponto :
O coeficiente linear de uma reta é , assim a equação da reta é: