3. Considere a função g(t) = f(a + ht, b + kt) , com a, b, h e k constantes.

b) Supondo f(x, y) de classe C^3 num aberto de R^2 , verifique que

g''(t) = h^3 * (∂^3 f / ∂x^3)(x, y) + 3h^2 * k * (∂^3 f / ∂x^2 ∂y)(x, y) + 3h * (k^2) * (∂^2 f / ∂x ∂y^2)(x, y) + (k^2) * (∂^2 f / ∂y^2)(x, y) + (k^3) * (∂^3 f / ∂x ∂y^3)(x, y)

Passo 1

Vamos calcular a primeira derivada primeiro, usando a regra da cadeia,

g ' t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Sabemos que x = a + h t e y = b + k t , então d x d t = h   e d y d t = k .

Ficamos com

g ' t = ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ f ∂ y ( k )

Passo 2

Agora vamos calcular a segunda derivada usando a nossa amada regra da cadeia

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Substituindo d x d t = h   e d y d t = k

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( k ) + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( k )

Arrumando direitinho ficamos com

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k h ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Como ele supôs aquele blá blá blá no início, podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Chegamos, então, a

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 3

Calculando a terceira derivada, ficamos com

g ' ' ' t = h 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x 2 d x d t + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ x 2 d y d t + 2 h k ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y   ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y   ∂ x d y d t + k 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2 d x d t + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 d y d t

Substituindo d x d t = h   e d y d t = k

g ' ' ' t = h 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x 2 ( h ) + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ x 2 ( k ) + 2 h k ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( h ) + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( k ) + k 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2 ( h ) + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 ( k )

Arrumando direitinho ficamos com

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 + h 2 k ∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 + 2 h 2 k ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x + 2 h k 2 ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y + h k 2 ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2 + k 3 ∂ 3 f ∂ y 3

Como ele supôs de Classe C 3 … Aplicamos, de novo, o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 = ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x e ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y = ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2

Chegamos, então, a

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 + h 2 k ∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 + 2 h 2 k ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x + 2 h k 2 ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y + h k 2 ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2 + k 3 ∂ 3 f ∂ y 3

Resposta

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 + h 2 k ∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 + 2 h 2 k ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x + 2 h k 2 ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y + h k 2 ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2 + k 3 ∂ 3 f ∂ y 3

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