Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 3b
3. Considere a função , com e constantes.
b) Supondo de classe num aberto de , verifique que
Passo 1
Vamos calcular a primeira derivada primeiro, usando a regra da cadeia,
Sabemos que e , então e
Ficamos com
Passo 2
Agora vamos calcular a segunda derivada usando a nossa amada regra da cadeia
Substituindo e
Arrumando direitinho ficamos com
Como ele supôs aquele blá blá blá no início, podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar
Chegamos, então, a
Passo 3
Calculando a terceira derivada, ficamos com
Substituindo e
Arrumando direitinho ficamos com
Como ele supôs de Classe Aplicamos, de novo, o Teorema de Schwarz que nos permite usar
e =
Chegamos, então, a
Resposta
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5. Considere a função z = x ∂ f ∂ x 2 x , x 2 . Verifique que ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x 2 x , x 3 + x 2 ∂ 2 f ∂ y∂ x 2 x , x 2 + 3 x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 2 x , x 2 .
2. Expresse g ' ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g t = f ( 5 t , 4 t )
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x∂ y
4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .