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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 3b

3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,   b ,   h   e k constantes.

b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto de   R 2 , verifique que

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x 2   ∂ y x , y + 3 h k 2 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y 2 x , y + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y ) + k 3 ∂ 3 f ∂ x y 3 x , y

Passo 1

Vamos calcular a primeira derivada primeiro, usando a regra da cadeia,

g ' t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Sabemos que x = a + h t e y = b + k t , então d x d t = h   e d y d t = k .

Ficamos com

g ' t = ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ f ∂ y ( k )

Passo 2

Agora vamos calcular a segunda derivada usando a nossa amada regra da cadeia

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Substituindo d x d t = h   e d y d t = k

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( k ) + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( k )

Arrumando direitinho ficamos com

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k h ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Como ele supôs aquele blá blá blá no início, podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Chegamos, então, a

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 3

Calculando a terceira derivada, ficamos com

g ' ' ' t = h 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x 2 d x d t + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ x 2 d y d t + 2 h k ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y   ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y   ∂ x d y d t + k 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2 d x d t + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 d y d t

Substituindo d x d t = h   e d y d t = k

g ' ' ' t = h 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x 2 ( h ) + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ x 2 ( k ) + 2 h k ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( h ) + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( k ) + k 2 ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2 ( h ) + ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 ( k )

Arrumando direitinho ficamos com

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 + h 2 k ∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 + 2 h 2 k ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x + 2 h k 2 ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y + h k 2 ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2 + k 3 ∂ 3 f ∂ y 3

Como ele supôs de Classe C 3 … Aplicamos, de novo, o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 = ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x e ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y = ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2

Chegamos, então, a

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 + h 2 k ∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 + 2 h 2 k ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x + 2 h k 2 ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y + h k 2 ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2 + k 3 ∂ 3 f ∂ y 3

Resposta

g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 + h 2 k ∂ 3 f ∂ y   ∂ x 2 + 2 h 2 k ∂ 3 f ∂ x   ∂ y   ∂ x + 2 h k 2 ∂ 3 f ∂ y   ∂ x   ∂ y + h k 2 ∂ 3 f ∂ x   ∂ y 2 + k 3 ∂ 3 f ∂ y 3

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5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]
2. Expresse g ' ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g t = f ( 5 t , 4 t )
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x∂ y
4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .