3. Considere a função , com e constantes.
b) Supondo de classe num aberto de , verifique que
Passo 1
Vamos calcular a primeira derivada primeiro, usando a regra da cadeia,
Sabemos que e , então e
Ficamos com
Passo 2
Agora vamos calcular a segunda derivada usando a nossa amada regra da cadeia
Substituindo e
Arrumando direitinho ficamos com
Como ele supôs aquele blá blá blá no início, podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar
Chegamos, então, a
Passo 3
Calculando a terceira derivada, ficamos com
Substituindo e
Arrumando direitinho ficamos com
Como ele supôs de Classe Aplicamos, de novo, o Teorema de Schwarz que nos permite usar
e =
Chegamos, então, a