Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u Passo 1Inicialmente obter a cara de cada derivada que precisamos para resolver nosso problema, ou seja, precisamos calcular ∂ 2 z x , y ∂ u 2 , ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v , ∂ z x , y ∂ u Dessa maneira, ∂ z x , y ∂ u = ∂ z ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ z ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ u = ∂ z x , y ∂ u . e u + ∂ z ( x , y ) ∂ y . 0 = ∂ z x , y ∂ x . e u + 0 = ∂ z x , y ∂ x . e u Assim, ∂ 2 z x , y ∂ u 2 = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 d x d u + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x d y d u + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y d x d u + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 d y d u = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . 0 + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 0 = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u + 0 + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u + 0 = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u + ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u = e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 De mesma forma, ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 d x d v + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x d y d v + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y d x d v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 d y d v = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 0 + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . e v + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y 0 + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e v = e u 0 + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . e v + 0 + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e v = e u ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . e v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e v = e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . + e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 Passo 2Sendo assim, ∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u = e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . + e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - 2 ∂ z x , y ∂ x . e u = e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x - ∂ z x , y ∂ x . e u + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - ∂ z x , y ∂ x . e u Lembre-se que na hipótese temos que x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 Sendo assim, com a mudança de variáveis x = e u , y = e v teremos, e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - e u ∂ z x , y ∂ x = e 3 u e 2 v Portanto, ∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u = e 3 u e 2 v + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - ∂ z x , y ∂ x . e u Resposta ∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u = e 3 u e 2 v + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - ∂ z x , y ∂ x . e u MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSuponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , determine (a) ∂z/∂r , (b) ∂z/∂θ , (c) ∂²z / ∂r ∂θSuponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da formaz = f(x + at) + g(x - at) é solução da equação de onda∂²z/∂t² = a² * (∂²z/∂x²Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , mostre que(∂^2 z)/(∂x^2) + (∂^2 z)/(∂y^2) = (∂^2 z)/(∂r^5. Considere a função z = ∂f/∂x | x, sen 3x. Verifique quedz/dx = ∂²f/∂x² (x, sen(3x)) + 3 cos(3x) ∂²f/∂y∂x (x, sen(3x)) .1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem SuperiorVer exercício 16.3 - 10Ver exercício 16.4 - 1 f