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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 18

Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação

x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 .

Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule

∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u

Passo 1

Inicialmente obter a cara de cada derivada que precisamos para resolver nosso problema, ou seja, precisamos calcular

∂ 2 z x , y ∂ u 2 ,   ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v ,   ∂ z x , y ∂ u

Dessa maneira,

∂ z x , y ∂ u = ∂ z ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ z ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ u

= ∂ z x , y ∂ u . e u + ∂ z ( x , y ) ∂ y . 0

= ∂ z x , y ∂ x . e u + 0

= ∂ z x , y ∂ x . e u

Assim,

∂ 2 z x , y ∂ u 2 = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 d x d u   + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x d y d u + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y d x d u + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 d y d u  

= e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u   + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . 0 + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 0  

= e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u   + 0 + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u + 0  

= e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u + ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u

= e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2

De mesma forma,

∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v = e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 d x d v   + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x d y d v + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y d x d v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 d y d v  

= e u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 0   + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . e v + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y 0 + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e v  

= e u 0   + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . e v + 0 + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e v  

= e u ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . e v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e v

= e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . + e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2

Passo 2

Sendo assim,

∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u

= e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . + e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - 2 ∂ z x , y ∂ x . e u

= e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x - ∂ z x , y ∂ x . e u

+ e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - ∂ z x , y ∂ x . e u

Lembre-se que na hipótese temos que

x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2

Sendo assim, com a mudança de variáveis x = e u , y = e v teremos,

e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - e u ∂ z x , y ∂ x = e 3 u e 2 v

Portanto,

∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u

= e 3 u e 2 v + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - ∂ z x , y ∂ x . e u

Resposta

∂ 2 z x , y ∂ u 2 + 2 ∂ 2 z x , y ∂ u ∂ v - 2 ∂ z x , y ∂ u

= e 3 u e 2 v + e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 e u e v ∂ 2 z x , y ∂ y 2 - ∂ z x , y ∂ x . e u

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