Encontre dz/du quando u = 0 , v = 1 se z = sen(xy) + x \* sen(y) , x = u^2 + v^2 , y = u \* v .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos ∂ z / ∂ u , precisamos relembrar a equação da Regra da Cadeia neste caso:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u

Primeiramente, iremos fazer as derivadas ∂ x / ∂ u e ∂ y / ∂ u , e sabemos que u = 0 v = 1 .

Sabemos que x = u 2 + v 2 , logo:

∂ x ∂ u = 2 u = 2 ∙ 0

∂ x ∂ u = 0

E para y = u v :

∂ y ∂ u = v = 1

Passo 2

Para calcularmos as derivadas ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y , vamos substituir os valores de u = 0 v = 1 em x = u 2 + v 2 y = u v                     , temos:

x = 1 y = 0

Agora vamos encontrar a derivada da função:

z = sen ⁡ x y + x sen ⁡ y

A derivada para x :

∂ z ∂ x = y cos ⁡ x y + sen ⁡ y

= 0 ∙ cos ⁡ 1 ∙ 0 + sin ⁡ 0

= 0 + 0

∂ z ∂ x = 0

E y :

∂ z ∂ y = x cos ⁡ x y + x cos ⁡ y = x cos ⁡ x y + cos ⁡ y

= 1 ∙ cos ⁡ 1 ∙ 0 + cos ⁡ 0

= 1 + 1

∂ z ∂ y = 2

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

∂ w ∂ u = 0 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 2

∂ w ∂ u = 2

Resposta

∂ w ∂ u = 2

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