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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.1 - Ex. 24

Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo

paraboloide elíptico z = 16 – x2 – y2 e inferiormente pelo quadrado R: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

que faremos neste exercício? Já sabemos que a equação do parabolóide dado é z = 16 - x 2 - y 2 . Desejamos encontrar o volume da região delimitado superiormente por este parabolóide e inferiormente pelo quadrado R : 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 . Vamos lá?

Passo 2

Observe que o volume pode ser dado por:

V   = ∫ 0 2     ∫ 0 2     16 - x 2 - y 2 d y d x = ∫ 0 2     16 y - x 2 y - y 3 3 0 2 d x V   = ∫ 0 2     16 ⋅ 2 - x 2 ⋅ 2 - 2 3 3 - 0 d x = ∫ 0 2     32 - 2 x 2 - 8 3 d x V   = 88 3 x - 2 x 3 3 0 2 = 176 3 - 16 3 = 160 3

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies y = 4 - x 2 , y = 3 x , z = x + 4 e z = 0 .
Determine a área da região limitada pelas curvas: a2 y = 16 - x 2 e x + 2 y + 4 = 0 .
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = y , z = 4 - x 2 , z = 0 e y = - 4 com z ≥ 0 .
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 - y 2 , x + z = 2 e x = 2 para z ≥ 0 .
Determine o volume do sólido dado. Abaixo da paraboloide z = x 2 + 4 y 2 e acima do retângulo R = 0,2 × 1,4 .