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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 18

Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

4 x 2 - 16 y 2 + z 2 = 16

Passo 1

Beleza, galera? Primeiro, vamos fazer os cortes, igualando cada variável a uma constante arbitrária k . Vamos começar com x :

  • x = k :

    • 4 x 2 - 16 y 2 + z 2 = 16

    4 k 2 - 16 y 2 + z 2 = 16

    z 2 - 16 y 2 = 4 ( 4 - k 2 )

    Então esse corte é uma hipérbole, pra 4 - k 2 ≠ 0   , ou seja, pra k ≠ ± 2 .

    Passo 2

    Continuando:

  • y = k :

    • 4 x 2 - 16 k 2 + z 2 = 16

    4 x 2 + z 2 = 16 ( 1 + k 2 )

    Aqui temos uma elipse, pra qualquer k .

  • z = k :

4 x 2 - 16 y 2 + k 2 = 16

4 x 2 - 16 y 2 = 16 - k 2

E agora temos uma hipérbole pra 16 - k 2 ≠ 0 , ou seja, pra k ≠ ± 4 .

Passo 2

Show! Juntando todas essas informações, podemos esboçar a superfície:

Então isso é um hiperboloide de uma folha, né mesmo?

Resposta

Hiperboloide de uma folha

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Use o computador com um programa que trace superfícies tridimensionais. Experimente diversos pontos de vista e diversos tamanhos de janela de inspeção até conseguir uma boa visão da superfície.39- z 2
Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I - V I I ) . Justifique sua escolha. y = x 2 - z 2
Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I - V I I ) . Justifique sua escolha. x 2 + 2 z 2 = 1
1 . Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado. σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,n op o n t oσ( 1 ,1 ) . σ( u ,v )=( cos ⁡ u , sin ⁡ v , v ) ,n op o n t oσ( π 2 ,1 ) . σ( u ,v )=( 2 u+v ,
1 . Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado. σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,n op o n t oσ( 1 ,1 ) . σ( u ,v )=( cos ⁡ u , sin ⁡ u , v ) ,n op o n t oσ( π 2 ,1 ) . σ( u ,v )=( 2 u+v ,