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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 22

Encontre os limites nos Exercícios 13-24 reescrevendo primeiro as frações.

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x y

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Dizemos que uma função f x ,   y se aproxima do limite L à medida que x ,   y se aproxima de x 0 ,   y 0 e escrevemos:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = L

Para resolvermos este limite iremos precisar a Regra de L’Hôpital:

Se f a = g a = 0 , tanto f ' quanto g ' existem em um intervalo aberto I contendo a e g ' x ≠ 0 em I se x ≠ a , então:

lim x → a ⁡ f x g x =   lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Sabendo disso, derivando o limite em relação a x , temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x y = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ y sen ⁡ x y y

= lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x y

Passo 2

Resolvendo o limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x y = sen ⁡ 0 = 0

Esse exercício já acabou, mas podemos fazer mais alguns né?! Estou te esperando.

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x y = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

39- Utilize as coordenadas esféricas para acharunderset((x , y , z) - (0,0 , 0))(lim) (x y z)/(x^2 + y^2 + z^2)
Usando a definição de limite, mostre que:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = 0
Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
Usando a definição de limite, mostrar que:underset([[x - - 1],[y - 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9