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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 3

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n

Passo 1

Beleza galera !?,

Temos uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n

E temos que encontrar o raio e intervalo de convergência.

Ora, podemos perceber que há um x (que funciona como variável) na série, O que indica que essa série pode convergir ou não dependendo do valor apontado para esse x .

Encontrar o raio de convergência é o que nos possibilita definir o intervalo de convergência, que por usa vez irá definir para quais x a série converge.

Entre os diversos métodos disponíveis, utilizaremos o teste da razão.

Não é uma regra rígida, mas é uma recomendação interessante utilizar o teste da razão para situações em que há um determinado elemento elevado a potência de n .

Vamos nos recordar o que é o teste da razão?

Uma série qualquer, chamada de ∑ a n , será convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Será divergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1

Caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Então o teste não é conclusivo.

Passo 2

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = - 1 n n x n

Então, fazemos

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) x n + 1

Passo 3

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 x n + 1 - 1 n n x n

Perceba que os elementos - 1 n + 1 e - 1 n não interferem no valor absoluto apenas no sinal da razão. Porém queremos calcular o limite do módulo, ou seja, podemos “desconsiderar” esses termos.

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 x n + 1 - 1 n n x n =   lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n + 1 n x n  

Lembrando que:

x n + 1 = x 1 × x n

Então temos:

lim n → ∞ ⁡   n + 1 x n + 1 n x n = l i m n → ∞ n + 1 * x n × x n x n

l i m n → ∞ n + 1 × x n =   l i m n → ∞ ( n + 1 ) n x

Dividindo o numerador e denominador por n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n x = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n x = 1 + 1 ∞ | x |

1 + 1 ∞ x = 1 + 0 x = x

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n

Converge quando

x < 1

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 1

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

x = ± 1

Para encontrar o intervalo, temos que encontrar se a série converge ou diverge nas extremidades, para isso substituiremos o valor de x por - 1 e por 1 .

Para x = 1

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Vamos aplicar o teste da divergência nessa série:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n n = lim n → ∞ ⁡ | - 1 n n | = ∞

Para x = - 1

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n - 1 n =   ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n n

Vamos aplicar o teste da divergência nessa série:

lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n n = lim n → ∞ ⁡ | - 1 2 n n | = ∞

Ambas séries divergem pelo teste da divergência, uma vez que

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

Então, o intervalo de convergência é:

I = ( - 1,1 )

Resposta

R = 1

I = ( - 1,1 )

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