Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 23
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
E aí, amigos! Show de bola?
A questão pede pra gente encontrar o intervalo de convergência e raio de convergência da série:
O intervalo de convergência nada mais é que o conjunto de valores para nos quais a série converge.
Um método indicado para acharmos esses valores é o Teste da Razão, principalmente para séries onde temos termos exponenciais (como por exemplo, aqui no nosso caso: e termos exponenciais ( e já que esse teste tem uma divisão de frações que simplifica bastante nossa série, eliminando termos.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos esse limite e analisamos seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
Vamo pro passo a passo!
Passo 2
Show de bola, galera!
Aqui vamos ter:
Com , vamos ter:
Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:
Abrindo as somas de potências e os termos fatoriais, e já cancelando termos iguais que estão se dividindo:
Resolvendo o limite acima, temos:
Para finalizar:
Passo 3
Para o Teste da Razão convergir, a gente precisa de:
Somente quando o termo que multiplica o infinito for zero vamos ter essa inequação respeitada. Opa! Nosso limite deu infinito para qualquer valor de , indicando que a nossa série não convergirá para qualquer valor de a não ser quando:
ou seja, quando . Desta forma, nosso raio de convergência será e nosso intervalo de convergência será .