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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 24

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )

Passo 1

Oi, galera! Tudo certinho?

A questão pede o raio e o intervalo de convergência de:

∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ �� ∙ ( 2 n )

Geralmente para encontrar esse raio R e esse intervalo usamos o Teste da Razão ou da Raiz.

Aqui vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é muito útil para quando temos termos exponenciais, porque fazendo a divisão dentro do limite, alguns termos somem e fica mais fácil para nós.

No Teste da Razão, temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde:

  • L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • L > 1 → a série ∑ a n é divergente
  • L = 1 → o teste é inconclusivo.

Agora que já reunimos os conceitos teóricos, bora!

Passo 2

Teremos:

a n = n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )

Colocando n + 1 , ficamos com:

a n + 1 = ( n + 1 ) 2 x n + 1 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 ( n + 1 ) )

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 x n + 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 n 2 x n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n

Escrevemos essa divisão de frações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda e abrimos os termos com soma no expoente. Também vamos aproveitar e cancelar os termos que estão se dividindo:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 x n + 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2 ( n + 1 ) ) n 2 x n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ��� … ⋅ ( 2 n ) = lim n → ∞ ⁡ ( x ) n ⋅ x ⋅ n + 1 2 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) ⋅ ( 2 n + 2 ) ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) n 2 x n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ x ⋅ n + 1 2 ( 2 n + 2 ) ⋅ 1 n 2 = x ⋅ lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 2 2 n + 2 = 0 < 1

Passo 3

Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de x .

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer x ∈ R . Nosso raio de convergência será então R = ∞ e nosso intervalo de convergência será I = ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

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