Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 18
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
18.
Passo 1
Beleza, galera?
A questão nos deu uma função top e quer a representação dela como uma série de potências e pede o raio de convergência também. Moleza, né?
Olha só, a gente precisa fazer com que nossa função tenha uma carinha de série geométrica, e representar bem parecida, assim ó:
Onde esse nos indica a razão da série geométrica, e se , convergirar para um intervalo. É assim que encontraremos o raio.
Passo 2
Agora observa bem pra nossa função. A gente não sabe qual a série para esse nosso , mas sabemos algo sobre , cuja derivada é:
Assim, podemos substituir , e a derivada ficaria assim:
Jogando na integral:
Mas sabemos que a expressão dentro da integral corresponde à soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão :
onde é uma constante de integração.
Passo 3
Agora, para achar a constante , usaremos na nossa série. Assim, olha só:
Então,
Passo 4
Como a razão da série geométrica que usamos era , pra série convergir devemos ter:
Substituindo,
Então o raio de convergência é , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.