Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 17
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
17.
Passo 1
E aê, galera!
A questão nos deu essa função doidona e quer que a gente represente
como uma série de potências e encontre o raio de convergência! Moleza, né?
Olha bem pra nossa função. A gente precisa manipular ela pra ficar com uma cara parecida com a série geométrica. Essa aqui, ó:
Show?
Então podemos reescrevê-la do mesmo jeito que acima, deixando o termo dentro do parênteses negativo:
Agora a gente vai derivar os dois lados dessa equação acima, e ficaremos com:
Perceba que no somatório, some por causa da primeira derivação, e começamos com .
Passo 2
Agora, manipulando e vendo a mágica acontecer, vamos dividir os dois lados por pra nossa função ficar com uma carinha melhor:
Agora multiplicar ambos os lados por :
Nosso primeiro termo se parece com a função que nos foi dada, né?
Agora, se quiser, você pode começar a soma de . Mas se você fizer isso, deverá substituir por no somatório:
Finalmente encontramos nossa função representada como série de potências:
Passo 3
Precisamos descobrir o Raio de Convergência. Para isso, podemos utilizar o Teste da Razão, que tem essa fórmula aqui:
Se essa inequação for verdadeira, a série vai convergir, show?
Seja nosso e
Desmanchamos nossas bases com expoentes que somam, e cancelamos os termos entre os numerados e denominadores:
Como tende a zero:
Como resultado final:
Descobrimos que o raio de convergência é: