Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

17.

f x = x 1 + 4 x 2

Passo 1

E aê, galera!

A questão nos deu essa função doidona e quer que a gente represente

f x = x 1 + 4 x 2

como uma série de potências e encontre o raio de convergência! Moleza, né?

Olha bem pra nossa função. A gente precisa manipular ela pra ficar com uma cara parecida com a série geométrica. Essa aqui, ó:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n

Show?

Então podemos reescrevê-la do mesmo jeito que acima, deixando o termo dentro do parênteses negativo:

1 1 - ( - 4 x ) = ∑ n = 0 ∞ ( - 4 x ) n

1 1 + 4 x = ∑ n = 0 ∞ ( - 4 ) n x n

Agora a gente vai derivar os dois lados dessa equação acima, e ficaremos com:

- 4 1 + 4 x 2 = ∑ n = 1 ∞ ( - 4 ) n ⋅ n ⋅ x n - 1

Perceba que no somatório, n = 0 some por causa da primeira derivação, e começamos com n = 1 .

Passo 2

Agora, manipulando e vendo a mágica acontecer, vamos dividir os dois lados por - 4 pra nossa função ficar com uma carinha melhor:

1 1 + 4 x 2 = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 ⋅ 4 n - 1 ⋅ n ⋅ x n - 1

Agora multiplicar ambos os lados por x :

x 1 + 4 x 2 = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 ⋅ 4 n - 1 ⋅ n ⋅ x n

Nosso primeiro termo se parece com a função que nos foi dada, né?

Agora, se quiser, você pode começar a soma de n = 0 . Mas se você fizer isso, deverá substituir n por n + 1 no somatório:

x 1 + 4 x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 - 1 ⋅ 4 n + 1 - 1 ⋅ n + 1 ⋅ x n + 1

Finalmente encontramos nossa função representada como série de potências:

x 1 + 4 x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ⋅ 4 n ⋅ n + 1 ⋅ x n + 1

Passo 3

Precisamos descobrir o Raio de Convergência. Para isso, podemos utilizar o Teste da Razão, que tem essa fórmula aqui:

a n + 1 a n   < 1

Se essa inequação for verdadeira, a série vai convergir, show?

Seja nosso a n = 4 n ⋅ n + 1 ⋅ x n + 1 e a n + 1 =   4 n + 1 ⋅ n + 2 ⋅ x n + 2

4 n + 1 ⋅ n + 2 ⋅ x n + 2 4 n ⋅ n + 1 ⋅ x n + 1  

Desmanchamos nossas bases com expoentes que somam, e cancelamos os termos entre os numerados e denominadores:

4 n ⋅ 4 1 ⋅ n + 2 ⋅ x n ⋅ x 2 4 n ⋅ n + 1 ⋅ x n ⋅ x 1  

4 ⋅ n n + 2 n ⋅ x n n + 1 n  

4 ⋅ 1 + 2 n ⋅ x 1 + 1 n  

Como 1 ∞ tende a zero:

4 ⋅ 1 + 0 ⋅ x 1 + 0

Como resultado final:

4 x < 1

Descobrimos que o raio de convergência é:

x < 1 4

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ⋅ 4 n ⋅ n + 1 ⋅ x n + 1

R = 1 4

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