Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 2
2. Expresse em termos de derivadas parciais de , sendo
Passo 1
Vamos primeiro calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia
Sabemos que e , então e
Ficamos, então com
Passo 2
Agora calculamos a segunda derivada, também usando a regra da cadeia
Substituindo os valores
Resposta
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8. Seja v r , θ = u ( x , y ) , onde x = r cos θey = rs e nθ . Verifique que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 .
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
9. Sejam f x , y de Classe C 2 num aberto R 2 , g x derivável até a 2ª ordem num intervalo aberto I e tais que, para to x ∈ I ,f x , g x = 0 (isto é, y = g ( x ) é dada implicitamente pela equação f x
7. Seja g u , v = f 2 u + v , u - 2 v , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2
11. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 ( c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g u , v = f x , t , onde x = m u + n v e t = p u - q