2. Expresse g ' ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g t = f ( 5 t , 4 t )

Passo 1

Vamos primeiro calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia

g ' t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Sabemos que x = 5 t e y = 4 t , então d x d t = 5   e d y d t = 4

Ficamos, então com

g ' t = ∂ f ∂ x ( 5 ) + ∂ f ∂ y ( 4 )

Passo 2

Agora calculamos a segunda derivada, também usando a regra da cadeia

g ' ' t = 5 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + 4 ( ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

g ' ' t = 5 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + 4 ( ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Substituindo os valores

g ' ' t = 5 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 5 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( 4 ) + 4 ∂ ∂ x ∂ f ∂ y 5 + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y 4

g ' ' t = 25 ∂ 2 f ∂ x 2 + 20 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 20 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + 16 ∂ 2 f ∂ y 2

Resposta

g ' ' t = 25 ∂ 2 f ∂ x 2 + 20 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 20 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + 16 ∂ 2 f ∂ y 2

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