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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 1b

1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada por

b) g t = t 3 ∂ f ∂ x ( 3 t , 2 t )

Passo 1

A função que ele nos deu foi:

g t = t 3 ∂ f ∂ x 3 t , 2 t

Derivando em relação a t , temos:

g ' t = d d t   t 3 ∂ f ∂ x 3 t , 2 t

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a regra do produto:

g ' t = 3 t 2 ∂ f ∂ x 3 t , 2 t + t 3 d d t ∂ f ∂ x 3 t , 2 t    

Fazendo a regra da cadeia:

g ' t = 3 t 2 ∂ f ∂ x 3 t , 2 t + t 3 ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t    

Como x = 3 , então:

d x d t = 3

E y = 2 t , logo:

d y d t = 2 .

E substituindo, ficamos com:

g ' t = 3 t 2 ∂ f ∂ x 3 t , 2 t + t 3 3 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y

Resposta

g ' t = 3 t 2 ∂ f ∂ x 3 t , 2 t + t 3 3 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , mostre que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ r 2 + 1
5. Considere a função z = ∂ f ∂ x x , s e n3 x . Verifique que d z d x = ∂ 2 f ∂ x 2 x , s e n3 x + 3 cos ⁡ 3 x ∂ 2 f ∂ y∂ x x , s e n3 x .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .
5. Considere a função z = x ∂ f ∂ x 2 x , x 2 . Verifique que ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x 2 x , x 3 + x 2 ∂ 2 f ∂ y∂ x 2 x , x 2 + 3 x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 2 x , x 2 .