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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 1a

1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada por

a) g t = ∂ f ∂ x x , y ,   x = t 2   e y = s e n t .

Passo 1

A função que ele nos deu foi:

g t = ∂ f ∂ x x , y

Onde x = t 2   e y = s e n t .

Derivando em relação a t , temos:

g ' t = d d t   ∂ f ∂ x x , y

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:

g ' t = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t

Agora vamos ver como ficam os termos d x d t e d y d t

x = t 2

Derivando,

d x d t = 2 t

Agora vamos ver o y

y = s e n t .

Derivando,

d y d t = cos ⁡ t

Portanto,

g ' t = 2 t   ∂ 2 f ∂ x 2 + cos ⁡ t ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Resposta

g ' t = 2 t   ∂ 2 f ∂ x 2 + cos ⁡ t ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine ∂ 2 z / ∂ r ∂ s . (Compare com o Exemplo 7.)
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Suponha z = f ( x , y ) , onde x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) . (a) Mostre que ∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , determine (a) ∂ z / ∂ r , (b) ∂ z / ∂ θ , (c) ∂ 2 z /
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2