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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 67

Utilize a Equação 4 para escrever as potências de e a seguir na forma a + b i .

a. e - i π

b. e i π / 4

c. e - i π / 2

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

A equação 4 é a fórmula de Euler:

e i θ = c o s θ + i s e n   θ

A partir dela, vamos obter as expressões pedidas no enunciado, apenas substituindo θ por - π , π / 4 e - π / 2 . Vamos começar pelo item a.

a. Fazendo θ = - π na fórmula de Euler, ficamos com

e - i π = c o s ( - π ) + i   s e n ( - π ) = c o s ( π ) - i   s e n ( π )

⇒ e - i π = - 1 - 0 = - 1

Passo 2

b. Nesse item, vamos fazer θ = π / 4

e i π / 4 = c o s ( π / 4 ) + i   s e n ( π / 4 ) = 2 2 ( 1 + i )

Passo 3

c. Por fim, vamos fazer θ = - π / 2

e - i π / 2 = c o s ( - π / 2 ) + i   s e n ( - π / 2 ) = c o s ( π / 2 ) - i   s e n ( π / 2 )

⇒ e - i π / 2 = 0 - i = - i

Prontinho, galera! Curtiram?

Resposta

a. e - i π = - 1

b. e i π / 4 = 2 2 ( 1 + i )

c. e - i π / 2 = - i

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