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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 37

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

37. l i m x   →   0 l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x

Passo 1

Fala, galera! Bora lá para mais uma questão?

Para calcular esse limite, precisamos de uma série que expresse l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x . Mas para isso, precisamos primeiro das séries para o cosseno e o logaritmo

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

A série do cosseno já tá pronta pra gente usar, mas na do logaritmo ainda temos que mudar x por x 2 :

l n ( 1 + x 2 ) = x 2 - ( x 2 ) 2 2 + ( x 2 ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( x 2 ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

l n ( 1 + x 2 ) = x 2 - x 4 2 + x 6 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x 2 n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

Passo 2

Agora que temos a expansão em série do cosseno e do logaritmo, podemos calcular:

1 - c o s x = 1 - 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

1 - c o s x = x 2 2 ! - x 4 4 ! + x 6 6 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Antes de continuar, nós temos que notar que

l n ( 1 + x 2 ) = x 2 1 - x 2 2 + x 4 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x 2 n - 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

1 - c o s x = x 2 1 2 ! - x 2 4 ! + x 4 6 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Agora é o momento de dividir o l n ( 1 + x 2 ) por 1 - c o s x

l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x = x 2 1   -   x 2 2   +   x 4 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 2 n - 2 n   +   ⋅ ⋅ ⋅ x 2 1 2 !   -   x 2 4 !   +   x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x = 1   -   x 2 2   +   x 4 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 2 n - 2 n   +   ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 !   -   x 2 4 !   +   x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

Por último, vamos tomar o limite

l i m x   →   0 l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x = l i m x   →   0 1   -   x 2 2   +   x 4 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 2 n - 2 n   +   ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 !   -   x 2 4 !   +   x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l i m x   →   0 l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x = l i m x   →   0 1   -   x 2 2   +   x 4 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 2 n - 2 n   +   ⋅ ⋅ ⋅ l i m x   →   0 1 2 !   -   x 2 4 !   +   x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l i m x   →   0 l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x = 1   1 2 !   = 2 ! = 2

Resposta

l i m x   →   0 l n ( 1   +   x 2 ) 1   -   c o s   x = 2

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