Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 60

a.Série para s e n h - 1 x Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para

s e n h - 1 x   = ∫ 0 x   1 1   +   t 2 d t

b. Utilize os três primeiros termos da série no item (a) para estimar s e n h - 1   0,25 . Dê um limitante superior para a magnitude da estimativa do erro.

Passo 1

Fala, galera! Partiu para mais uma resolução? Bora lá!

a. O enunciado pede para a gente usar o seguinte resultado

s e n h - 1 x   = ∫ 0 x   1 1   +   t 2 d t

para encontrar os quatro primeiros termos de s e n h - 1 x . Para isso, temos que escrever a série de 1 1   +   t 2 e integrar os quatro primeiros termos. Usando a série binomial para m = - 1 / 2 , temos

1 1   +   x = 1 - x 2 + 3 x 2 8 - 5 x 3 16 +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, trocando x por t 2 , ficamos com

1 1   + t 2 = 1 - t 2 2 + 3 ( t 2 ) 2 8 - 5 ( t 2 ) 3 16

1 1   + t 2 = 1 - t 2 2 + 3 t 4 8 - 5 t 6 16

onde a gente só pegou os quatro primeiros termos, porque é isso que a questão pede.

Passo 2

Agora é o momento de fazer a integração:

s e n h - 1 x   = ∫ 0 x   1 1   +   t 2 d t = ∫ 0 x   1 - t 2 2 + 3 t 4 8 - 5 t 6 16 d t

s e n h - 1 x   = t - t 3 2 ⋅ 3 + 3 t 5 8 ⋅ 5 - 5 t 7 16 ⋅ 7 0 x

s e n h - 1 x   = x - x 3 2 ⋅ 3 + 3 x 5 8 ⋅ 5 - 5 x 7 16 ⋅ 7

Passo 3

b.Nesse item, vamos calcular s e n h - 1   0,25 usando apenas os três primeiros termos da série.

s e n h - 1 0,25   = 0,25 - ( 0,25 ) 3 2 ⋅ 3 + 3 ( 0,25 ) 5 8 ⋅ 5  

s e n h - 1 0,25   =   0,25   -   0,0026   +   0,00007

s e n h - 1 0,25   = 0,24747

O último termo é menor que 1 0 - 4 , então esse é o erro máximo quando calculamos usando os três primeiros termos. A partir do quarto termo, o erro já é menor que 1 0 - 4 .

Resposta

a. s e n h - 1 x   = x - x 3 2 ⋅ 3 + 3 x 5 8 ⋅ 5 - 5 x 7 16 ⋅ 7

b. s e n h - 1 0,25   = 0,24747 , estimativa do erro: 1 0 - 4

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de con
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.2
Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a . Para a série: f x = x e x ,a = 0
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.