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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 54

Quantos termos da série de Taylor para l n ( 1   +   x ) devem ser adicionados para se ter certeza de que se está calculando l n ( 1,1 ) com um erro de magnitude menor que 1 0 - 8 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês?

Nessa questão, temos que expandir l n ( 1   +   x ) como uma série de potência, calcular termo a termo das potências para x = 1,1 e ver em qual termo temos um valor menor que 1 0 - 8 . Preparados? Vamos lá!

A série para l n ( 1   +   x ) é

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅   ,   - 1 < x ≤ 1

Então, o l n ( 1,1 ) é

l n ( 1 + 0,1 ) = 0,1 - ( 0,1 ) 2 2 + ( 0,1 ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( 0,1 ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅   ,   - 1 < x ≤ 1

Passo 2

Agora que temos a expansão em série, calcular cada um deles para x = 0,1 :

x | 0,1 = 0,1

- x 2 2 | 0,1 = - 0,005

x 3 3 | 1,1 ≈ 0,00033

- x 4 4 | 1,1 = - 0,000025

Passo 3

Bom, isso vai levar algum tempo ainda, então vamos pulando de duas em dois termos:

- x 6 6 | 0,1 ≈ - 0,000000167

- x 8 8 | 0,1 ≈ - 0,00000000125

Vamos só conferir se o sétimo termo é maior que 1 0 - 8

x 7 7 | 0,1 ≈ - 0,000000014 > 1 0 - 8

Então, precisamos de 8 termos para ter um erro menor que 1 0 - 8 quando calculamos l n ( 1,1 ) . Espero que você tenha gostado desta resolução.

Resposta

8 termos

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