Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função.

y = e - x 2 cos ⁡ x

Passo 1

Faaaala galerinha! Tudo na paz com vocês? Espero que sim! Partiu!?

Analisando a questão, percebemos que ela solicita que encontramos os três primeiros termos diferente de zero da série de Maclaurin para a função y utilizando de multiplicação ou divisão de séries de potências.

y = e - x 2 cos ⁡ x

Mas como eu resolvo isso ai?

Bom, vamos analisar a Tabela 1 e verificar se encontramos alguma série que se parece com a função y .

Observe que temos uma série para e x e cos ⁡ x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + …

Sabendo disso, precisamos manipular as expressões e encontrar a série para cada função separa. Ai por fim é só nos multiplicarmos as duas séries.

Com esse bizu, ficou mumu fazer essa ein!? Vamos juntos gabaritar!

Passo 2

Primeiramente vamos substituir e - x 2   e cos ⁡ x por suas respectivas séries.

Observe que para o termo e x , basta trocarmos x por - x 2 . Assim temos:

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n ! = 1 - x 2 + x 4 2 ! - …

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Agora, para encontrar y , multiplicamos as séries:

y = 1 - x 2 + x 4 2 ! - … 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Passo 3

Agora vamos com calma. Vamos fazer a multiplicação com os três primeiros termos, teremos termos de até oitavo grau, mas lembre-se que só queremos os três primeiros termos do resultado.

Para facilitar, vamos utilizar o método do chuveirinho

Vamos começar:

y = 1 - x 2 + x 4 2 ! - … 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Como vai ser uma conta muito grande, vamos dividir em três partes, depois somamos tudo

Parte 1 :

y 1 = 1 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

y 1 = 1 - x 2 2 + x 4 24 - …

Parte 2 :

y 2 = - x 2 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

y 2 = - x 2 + x 4 2 - x 6 24 + …

Parte 3 :

y 3 = x 4 2 ! 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

y 3 = x 4 2 - x 6 16 + x 8 96 + …

Agora vamos somar tudo, e não podemos esquecer do sinal de menos que tinha na frente da multiplicação:

y = ( y 1 + y 2 + y 3 )

Logo, os três primeiros termos do somatório da função y é:

y = 1 - 3 x 2 2 + 25 x 4 24 + …

Resposta

y = 1 - 3 x 2 2 + 25 x 4 24 - …

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