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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 13

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ( 4 ) - 5 y ' ' + 4 y   =   1 - u π ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, as derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

ℒ { d 3 y d t 3 } = s ³ Y ( s ) - s ² y ( 0 ) - s y ' ( 0 )   -   y ' ' ( 0 )

ℒ { d 4 y d t 4 } = s 4 Y ( s )   -   s 3 y ( 0 ) - s 2 y ' ( 0 ) - s   y ' ' ( 0 )   - y ' ' ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ( 4 ) + 5 y ' ' + 4 y } = ℒ { 1 - u π ( t ) }

ℒ { y ( 4 ) } + ℒ { 5 y ' ' } + ℒ { 4 y } = ℒ { 1 } - ℒ { u π ( t ) }

[ s 4 Y ( s )   -   s 3 y ( 0 ) - s 2 y ' ( 0 ) - s   y ' ' ( 0 )   - y ' ' ' ( 0 ) ]   +   5 [ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = ∫ 0 ∞ e - s t ( 1 ) d t   - ∫ 0 ∞ e - s t ( u π ( t ) ) d t  

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 , y ' ( 0 ) = 0 , y ' ' ( 0 ) = 0 e y ' ' ' ( 0 ) = 0

[ s 4 Y ( s ) ] + 5 [ s ² Y ( s ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = ∫ 0 ∞ e - s t d t - ∫ π ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ⁴ + 5 s ² + 4 ) Y ( s ) = 1 s - 1 s e - π s

Y ( s ) = 1 s ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) - 1 s ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) e - π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 s ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) = A s + B s + C s ² + 1 + D s + E s ² + 4

s = 0 :   1 = 4 A

s = 1 :   1 = 10 A + 5 B + 5 C + 2 D + 2 E

s = 2 :   1 = 40 A + 32 B + 16 C + 20 D + 10 E

s = 3 :   1 = 130 A + 117 B + 39 C + 90 D + 30 E

s = 4 :   1 = 340 A + 320 B + 80 C + 272 D + 68 E

Resolvendo, chegamos em:

A = 1 / 4 ,   B = - 1 / 3 ,   C = 0 ,   D = 1 / 12 ,   e   E = 0 .

Y ( s ) = ( 1 / 4 s + - 1 3 s s ² + 1 + 1 12 s s ² + 4 ) - ( 1 / 4 s + - 1 3 s s ² + 1 + 1 12 s s ² + 4 ) e - π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { ( 1 / 4 s + - 1 3 s s ² + 1 + 1 12 s s ² + 4 ) - ( 1 / 4 s + - 1 3 s s ² + 1 + 1 12 s s ² + 4 ) e - π s }

Chegando em:

y ( t ) = 2 3 [ s e n ⁴ ( t 2 )     -   u π ( t ) c o s ⁴ ( t 2 ) ]

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 2 3 [ s e n ⁴ ( t 2 )     -   u π ( t ) c o s ⁴ ( t 2 ) ]

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