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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 4

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' '   + 4 y   = s e n ( t )   + u π ( t )   s e n ( t - π ) ;   y ( 0 )   =   0 ,   y ' ( 0 )   =   0

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   L { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

L { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

L { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

L { y ' '   +   4 y } = L { s e n ( t )   +   u π ( t ) s e n ( t - π ) }

L { y ' ' }   + 4 L { y }   =   L { s e n ( t ) }   +   L { u π ( t ) s e n ( t - π ) } }

[ s ² Y ( s )     - s y ( 0 )   - y ' ( 0 ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = 1 s ² + 1 + 1 s ² + 1 e - π s

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = 1 s ² + 1 + 1 s ² + 1 e - π s

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 4 ) Y ( s ) = 1 s ² + 1 + 1 s ² + 1 e - π s

Y ( s ) = 1 ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) + 1 ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) e - π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) = A s + B s ² + 1 + C s + D s ² + 4

s = 0 :   1 = 4 B + D

s = 1 :   1 = 5 A + 5 B + 2 C + 2 D

s = 2 :   1 = 16 A + 8 B + 10 C + 5 D

s = 3 :   1 = 39 A + 13 B + 30 C + 10 D

Resolvendo, chegamos em:

A = 0 ,   B = 1 3 ,   C = 0 , e D =   - 1 3

Y ( s ) = 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 + ( 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 ) e - π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = L - 1 { Y ( s ) } = L - 1 { 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 + ( 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 ) e - π s }

y ( t ) = L - 1 { Y ( s ) } = L - 1 1 3 1 s 2 + 1 - 1 2 2 s 2 + 4 + 1 3 1 s 2 + 1 - 1 2 2 s 2 + 4 e - π s

Onde:

L - 1 1 s 2 + 1 - 1 2 2 s 2 + 4 e - π s = s e n t - π - 1 2 s e n 2 t - 2 π u π ( t )

Chegando em:

y ( t ) = 1 3 sen ⁡ t - 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 3 sen ⁡ t + 1 2 s e n 2 t u π ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 1 3 sen ⁡ t - 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 3 sen ⁡ t + 1 2 s e n 2 t u π ( t )

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