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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 11

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' ' + 4 y = u π ( t ) - u 3 π ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' '   + 4 y } = ℒ { u π ( t ) - u 3 π ( t ) }

ℒ { y ' ' }   + ℒ { 4 y } = ℒ { u π ( t ) } - ℒ { u 3 π ( t ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ]   + 4 [ Y ( s ) ] =   ∫ 0 ∞ e - s t ( u π ( t ) )   d t -   ∫ 0 ∞ e - s t ( u 3 π ( t ) )   d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = ∫ π ∞ e - s t d t - ∫ 3 π ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 4 ) Y ( s ) = 1 s e - π s - 1 s e - 3 π s

Y ( s ) = 1 s ( s 2 + 4 ) e - π s - 1 s ( s 2 + 4 ) e - 3 π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 s ( s 2 + 4 ) = A s + B s + C s ² + 4

s = 0 :   1 = 4 A

s = 1 :   1 = 5 A + B + C

s = 2 :   1 = 8 A + 4 B + 2 C

Resolvendo, chegamos em:

A = 1 4 ,   B = - 1 4 ,   C = 0

Y ( s ) = ( 1 4 s + - 1 4 s s ² + 4 ) e - π s - ( 1 4 s + - 1 4 s s ² + 4 ) e - 3 π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t )   =   ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 {   ( 1 4 s + - 1 4 s s ² + 4 ) e - π s - ( 1 4 s + - 1 4 s s ² + 4 ) e - 3 π s }

Chegando em:

y ( t ) = 1 2 s e n 2 ( t ) [ u π ( t )   -   u 3 π ( t )   ]

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 1 2 s e n 2 ( t ) [ u π ( t )   -   u 3 π ( t )   ]

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