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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 12

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ( 4 ) - y   =   u 1 ( t ) - u 2 ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, as derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

ℒ { d 3 y d t 3 } = s ³ Y ( s ) - s ² y ( 0 ) - s y ' ( 0 )   -   y ' ' ( 0 )

ℒ { d 4 y d t 4 } = s 4 Y ( s )   -   s 3 y ( 0 ) - s 2 y ' ( 0 ) - s   y ' ' ( 0 )   - y ' ' ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ( 4 ) - y } = ℒ { u 1 ( t ) - u 2 ( t ) }

ℒ { y ( 4 ) } - ℒ { y } = ℒ { u 1 ( t ) } - ℒ { u 2 ( t ) }

[ s 4 Y ( s )   -   s 3 y ( 0 ) - s 2 y ' ( 0 ) - s   y ' ' ( 0 )   - y ' ' ' ( 0 ) ]   -   Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ u 1 ( t ) ] d t   -   ∫ 0 ∞ e - s t [ u 2 ( t ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 , y ' ( 0 ) = 0 , y ' ' ( 0 ) = 0 e y ' ' ' ( 0 ) = 0

[ s 4 Y ( s ) ] - [ Y ( s ) ] = ∫ 1 ∞ e - s t d t - ∫ 2 ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ⁴ - 1 ) Y ( s ) = 1 s e - s - 1 s e - 2 s

Y ( s ) + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s ² + 1 ) e - s - 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s ² + 1 ) e - 2 s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s ² + 1 ) = A s + B s - 1 + C s + 1 + D s + E s ² + 1

s = 0 :   1 = - A

s = 1 :   1 = 4 B

s = - 1 :   1 = 4 C

s = 2 :   1 = 15 A + 30 B + 10 C + 12 D + 6 E

s = 3 :   1 = 80 A + 120 B + 60 C + 72 D + 24 E

Resolvendo, chegamos em:

A = - 1 ,   B = 1 / 4 ,   C = 1 / 4 ,   D = 1 / 2 ,   e   E = 0 .

Y ( s ) = ( - 1 s + 1 / 4 s - 1 + 1 / 4 s + 1 + 1 2 s s ² + 1 ) e - s - ( - 1 s + 1 / 4 s - 1 + 1 / 4 s + 1 + 1 2 s s ² + 1 ) e - 2 s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { ( - 1 s + 1 / 4 s - 1 + 1 / 4 s + 1 + 1 2 s s ² + 1 ) e - s - ( - 1 s + 1 / 4 s - 1 + 1 / 4 s + 1 + 1 2 s s ² + 1 ) e - 2 s }

Chegando em:

y ( t ) = 1 2 [ - 2 + c o s h ( t - 1 ) + c o s ( t - 1 ) ] u 1 ( t )   -   1 2 [ - 2 + c o s h ( t - 2 ) + c o s ( t - 2 ) ] u 2 ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 1 2 [ - 2 + c o s h ( t - 1 ) + c o s ( t - 1 ) ] u 1 ( t )   -   1 2 [ - 2 + c o s h ( t - 2 ) + c o s ( t - 2 ) ] u 2 ( t )

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