Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 13
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
13.
Passo 1
A transformada na EDO fica o seguinte:
E ao aplicarmos a linearidade:
Ou seja, a transformada das somas é igual à soma das transformadas.
Pelo teorema 6.2.1, as transformadas das derivadas podem ser escritas como:
Onde é a transformada da função .
Juntando tudo a equação fica:
Passo 2
Como alguns termos são a função de no ponto , podemos substituir elas pelos valores das condições iniciais dados no enunciado:
Então podemos isolar :
Passo 3
Como da maneira que está não tem nenhum valor correspondente para a transformada inversa na tabela, vamos precisar reescrever o denominador de maneira irredutível:
Agora fazemos uma substituição . Assim:
Se repararmos, ela é muito parecida com a seguinte inversa:
Mas a nossa transformada está em relação a e não a como na tabela, então precisamos aplicar o seguinte:
Ou seja, se houver um deslocamento na variável , podemos compensar isso multiplicando a nossa por . A transformada inversa fica:
Com
Essa vai ser nossa solução.