1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y'' + 4y = 2δ(t - π/4); y(0) = 0, y'(0) = 0.

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 4 y } = ℒ { 2 δ ( t - π / 4 ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { 4 y } = ℒ { 2 δ ( t - π / 4 ) }

s 2 Y ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )   +   4 Y ( s ) = 2 ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - π / 4 ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

s 2 Y ( s ) + 4 Y ( s ) = 2 e - s ( π / 4 )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s 2 + 4 ) Y ( s ) = 2 e - π s / 4

Y ( s ) = 2 s 2 + 4 e - π s / 4

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = - u π / 4 ( t )   c o s ( 2 t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } =   - u π / 4 ( t )   c o s ( 2 t )

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