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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 9

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' + y = u π / 2 ( t ) + 3 δ ( t - 3 π / 2 ) - u 2 π ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + y } = ℒ { u π / 2 ( t ) + 3 δ ( t - 3 π / 2 ) - u 2 π ( t ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { y } = ℒ { u π / 2 ( t ) } + ℒ { 3 δ ( t - 3 π / 2 ) } - ℒ { u 2 π ( t ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )   + Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ u π / 2 ( t ) ] d t + 3 ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 3 π / 2 ) ] d t - ∫ 0 ∞ e - s t [ u 2 π ( t ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0

.

[ s 2 Y ( s ) ] + Y ( s ) = ∫ π / 2 ∞ e - s t d t + 3 e - s ( 3 π / 2 ) - ∫ 2 π ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s 2 + 1 ) Y ( s ) = e - π s / 2 s + 3 e - 3 π s / 2 - e - 2 π s s

Y ( s ) = 1 s ( s 2 + 1 ) e - π s / 2 + 3 1 s 2 + 1 e - 3 π s / 2 - 1 s ( s 2 + 1 ) e - 2 π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 s ( s 2 + 1 ) = A s + B s + C s 2 + 1

s = 0 :   1 = A

s = 1 :   1 = 2 A + B + C

s = 2 :   1 = 5 A + 4 B + 2 C

Resolvendo, chegamos em:

A = 1 ,   B =   - 1 e C = 0 .

Y ( s ) = ( 1 s - s s 2 + 1 ) e - π s / 2 + 3 1 s 2 + 1 e - 3 π s / 2 - ( 1 s - s s 2 + 1 ) e - 2 π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = u π / 2 ( t ) ( 1 - s e n ( t )   ) + 3 u 3 π / 2 ( t )   c o s ( t )   -   u 2 π ( t )   ( 1 - c o s ( t )   )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = u π / 2 ( t ) ( 1 - s e n ( t )   ) + 3 u 3 π / 2 ( t )   c o s ( t )   -   u 2 π ( t )   ( 1 - c o s ( t )   )

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