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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 3

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' + 3 y ' + 2 y = δ ( t - 5 ) + u 10 ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 1 2

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 3 y ' + 2 y } = ℒ { δ ( t - 5 ) + u 10 ( t ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { 3 y ' } + ℒ { 2 y } = ℒ { δ ( t - 5 ) } + ℒ { u 10 ( t ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + 3 [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + 2 Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 5 ) ] d t + ∫ 0 ∞ e - s t [ u 10 ( t ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 1 / 2 .

s ² Y ( s ) - 1 2 + 3 [ s Y ( s ) ] + 2 Y ( s ) = e - 5 s + ∫ 10 ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 3 s + 2 ) Y ( s ) - 1 2 = e - 5 s + e - 10 s s

Y ( s ) = ( 1 2 s + 1 - 1 2 s + 2 ) + ( 1 s + 1 - 1 s + 2 ) e - 5 s + ( 1 2 s - 1 s + 1 + 1 2 s + 2 ) e - 10 s

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 2 e - t - 1 2 e - 2 t + [ e - ( t - 5 ) - e - 2 ( t - 5 ) ] u 5 ( t ) + [ 1 2 - e - ( t - 10 ) + 1 2 e - 2 ( t - 10 ) ] u 10 ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 2 e - t - 1 2 e - 2 t + [ e - ( t - 5 ) - e - 2 ( t - 5 ) ] u 5 ( t ) + [ 1 2 - e - ( t - 10 ) + 1 2 e - 2 ( t - 10 ) ] u 10 ( t )

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