Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' + 4 y = δ ( t - 4 π ) ;   y ( 0 ) = 1 2 ,             y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' '   + 4 y } = ℒ { δ ( t - 4 π ) }

ℒ { y ' ' } + 4 ℒ { y } = ℒ { δ ( t - 4 π ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + 4 Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 4 π ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 1 2 e y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) - s 2 ] + 4 Y ( s ) = e - s ( 4 π )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s 2 + 4 ) Y ( s ) - 1 2 s = e - 4 π s

Y ( s ) = 1 2 s s 2 + 4 + 1 2 2 s 2 + 4 e - 4 π s

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 2 [ c o s ( 2 t ) + u 4 π ( t ) s e n ( 2 t ) ]

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 1 2 [ c o s ( 2 t ) + u 4 π ( t ) s e n ( 2 t ) ]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ' ' - 2 y ' + 2 y = e - t; y 0 = 0ey ' 0 = 1
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t n e a t
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ' ' + ω 2 y = cos ⁡ 2 t ,o n d eω 2 ≠ 4 ; y 0 = 1 ,y ' 0 = 0
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ( 4 ) - 4 y = 0; y 0 = 1 ,y ' 0 = 0 ,y ' ' 0 = - 2ey ' ' ' 0 = 0
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ' ' - 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t ,s ey 0 = 1 ; y ' 0 = 0