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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 49

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis e somos solicitados a encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que a derivada parcial de segunda ordem é calculada tomando uma derivada parcial da derivada parcial de primeira ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Nesta tarefa também contaremos com o teorema da derivada mista que afirma que se as derivadas de primeira e segunda ordem da função são contínuas, então as derivadas de ordem mista da função são as mesmas, ou seja:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Observe que nesta tarefa isso será verdadeiro devido à função que recebemos com essa propriedade. Isso nos poupará um cálculo, portanto, no total, precisamos calcular as derivadas 5 vezes.

w = xsin ⁡ x 2 y ⇒ w x = 1 sin ⁡ x 2 y + xcos ⁡ x 2 y ⋅ 2 x y = sin ⁡ x 2 y + 2 x 2 ycos ⁡ x 2 y

Passo 2

w x = s i n ⁡ x 2 y + 2 x 2 y c o s ⁡ x 2 y ⇒ w x x = c o s ⁡ x 2 y ⋅ 2 x y + 4 x y c o s ⁡ x 2 y - 2 x 2 y s i n ⁡ x 2 y ⋅ 2 x y = 6 x y cos ⁡ x 2 y - 4 x 3 y 2 sin ⁡ x 2 y w x y = c o s ⁡ x 2 y ⋅ x 2 + 2 x 2 c o s ⁡ x 2 y - 2 x 2 y s i n ⁡ x 2 y ⋅ x 2 = 3 x 2 cos ⁡ x 2 y - 2 x 4 ysin ⁡ x 2 y w y = x 3 c o s ⁡ x 2 y ⇒ w y x = 3 x 2 c o s ⁡ x 2 y - x 3 s i n ⁡ x 2 y ⋅ 2 x y = 3 x 2 cos ⁡ x 2 y - 2 x 4 ysin ⁡ x 2 y w y y = - x 3 s i n ⁡ x 2 y ⋅ x 2 = - x 5 sin ⁡ x 2 y

Resposta

w x x = 6 x y c o s ⁡ x 2 y - 4 x 3 y 2 s i n ⁡ x 2 y , w x y = 3 x 2 c o s ⁡ x 2 y - 2 x 4 y s i n ⁡ x 2 y w y x = 3 x 2 c o s ⁡ x 2 y - 2 x 4 y s i n ⁡ x 2 y , w y y = - x 5 s i n ⁡ x 2 y

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