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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 5a

Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

a )   f   ( t )   =   t

b )   f   ( t )   =   t 2

c )   f t = t n

Em que n é um número inteiro positivo.

Passo 1

  1. Podemos calcular a transformada de qualquer função desse jeito aqui:

L f t s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

No nosso caso, queremos calcular a transformada da função f t = t . Montando a integral, ficamos com:

L t s = ∫ 0 ∞ t e - s t d t  

Partiu calcular essa integral?

Passo 2

Podemos resolver então essa integral usando integração por partes. Onde,

u = t               e               d v = e - s t d t

Derivando o u e integrando o v ...

d u = d t                     e                     v = - e - s t s

De acordo com as regras de integração por partes...

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então, no nosso caso...

∫     t e - s t d t = - t s e - s t - ∫     - e - s t s d t     →

∫     t e - s t d t = - t s e - s t + 1 s ∫     e - s t d t   →

∫     t e - s t d t = - t s e - s t - 1 s 2 e - s t  

Pronto, achamos a primitiva. Mas lembra de que temos a seguinte integral impropria?

∫ 0 ∞ t e - s t d t

Vamos terminar de resolvê-la!

Passo 3

A integração imprópria pode se resolver trocando o infinito por um limite:

∫ 0 ∞ t e - s t d t = lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t e - s t d t

Agora, essa integral definida com b pode ser obtida pela substituição dos limites:

∫ 0 b t e - s t d t = - t s e - s t - 1 s 2 e - s t 0 b =

- b s e - s b - 1 s 2 e - s b - 0 - 1 s 2 e 0 =

- b s e s b - 1 s 2 e s b + 1 s 2

Substituindo esse resultado no limite agora...

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t e - s t d t = lim b → ∞ ⁡ - b s e s b - 1 s 2 e s b + 1 s 2     →

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t e - s t d t = 1 s 2 - lim b → ∞ ⁡ b s e s b + 1 s 2 e s b     →

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t e - s t d t = 1 s 2 - lim b → ∞ ⁡ 0     →

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t e - s t d t = 1 s 2

Concluímos então que a transformada de Laplace de t será:

L t s = ∫ 0 ∞ t e - s t d t = 1 s 2

Com s > 0 .

Resposta

1 s 2 ;             s > 0

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