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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 64

Variação ao longo da involuta de uma circunferência Encontre a derivada de ƒ(x, y) = x2 + y2 na direção do vetor

tangente unitário da curva

r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t – t cos t) j, t > 0

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos a derivada de f ( x , y ) = x 2 + y 2 na direção do vetor tangente unitário r = ( c o s ⁡ t + t s e n ⁡ t ) i + ( s e n ⁡ t - t c o s ) j , t > 0

Passo 2

Começaremos encontrando o gradiente da função f ( x , y ) = x 2 + y 2

∇ f = 2 x i + 2 y j

Igualando o gradiente ao vetor temos:

2 x i + 2 y j = 2 ( c o s ⁡ t + t s e n ⁡ t ) i + 2 ( s e n ⁡ t - t c o s ) j

E teremos também que:

v = ( t c o s ⁡ t ) i + ( t s e n ⁡ t ) j

vetor unitário é dado então por:

u = v | v | = ( t c o s ⁡ t ) i + ( t s e n ⁡ t ) j ( t c o s ⁡ t ) 2 + ( t s e n ⁡ t ) 2 = ( c o s ⁡ t ) i + ( s e n ⁡ t ) j

Resposta

a derivada na direção do vetor unitário pedido valerá:

D u f P 0 = ∇ f ⋅ u = 2 ( c o s ⁡ t + t s e n ⁡ t ) ( c o s ⁡ t ) + 2 ( s e n ⁡ t - t c o s ⁡ t ) ( s e n ⁡ t ) D u f P 0 = 2

Exercícios de Livros Relacionados

23. f (w , t) = w^2 t - (1)/(t)
25. z = x^2 y^2 - x y
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.f ( x , y , z ) = 2 x y^z
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.w = x^2 y + x y z^2 + x^2 z
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.h (u , v , w , t) = u^2 + v^2 - ln ( w t )