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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 54

O valor médio de uma função f ( x , y , z ) em uma região sólida E é definido como

f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , z   d V

Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ m e d é a densidade média de E .

Ache o valor médio da função f x , y , z = x 2 z + y 2 z na região delimitada pelo paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 e pelo plano z = 0 .

Passo 1

E aiiiii galerinha, tudo bem? Vamos nessa!!!

Temos o valor médio de uma função f ( x , y , z ) definida em uma região E como:

f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , z   d V

Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ m e d é a densidade média de E .

A partir disso, devemos calcular o valor médio da função:

f x , y , z = x 2 z + y 2 z

Que esta delimitada por um paraboloide:

z = 1 - x 2 - y 2

E um plano:

z = 0

Vish, e agora?

Nosso primeiro passo vai ser determinar o volume V ( E ) , que podemos escrever como:

V E = ∭ E 1   d V

Observe que nossa região é o paraboloide e o plano. Logo temos que:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Veja que você pode igualar o plano ao paraboloide, e obter a expressão de um círculo. Logo vai precisar escrever em coordenadas polares para facilitar a integração. Do tipo:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ    

y = r   s e n   θ

d x d y = r d r d θ

Encontrado o valor de V ( E ) , voltamos para a integral e substituímos:

f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , z   d V

Agora vamos ter que resolver essa integral tripla. Lembre-se que f ( x , y , z ) foi dado no enunciado:

f x , y , z = x 2 z + y 2 z

Aqui vamos precisar montar a integral e converter para coordenadas polares também, vai facilitar muuuuito a resolução.

Vamos nessa!!! Partiu começar!!

Passo 2

Vamos começar calculando V ( E ) .

V E = ∭ E 1   d V

Na região descrita o z varia entre

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

E na interseção do paraboloide com z = 0 temos

0 = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1

Observe que temos uma circunferência de raio 1 centrada na origem.

Podemos calcular o volume assim:

V E = ∬ E ∫ 0 1 - x 2 - y 2 1   d z d A

V E = ∬ E 1 - x 2 - y 2   d A

Como a região E é limitada por x 2 + y 2 = 1 é interessante usarmos coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ    

y = r   s e n   θ

d x d y = r d r d θ

Com variação de:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, substituindo, nossa integral fica:

V E = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 r   d r d θ

Passo 3

Agora precisamos começar a integrar. Lembre-se sempre começamos de dentro para fora.

V E = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 r   d r d θ

Integrando em d r , vamos ter:

V E = ∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

V E = ∫ 0 2 π 1 2 - 1 4 d θ

Simplificando:

V E = ∫ 0 2 π 1 4 d θ

Ficamos com um integral simples em d θ . Integrando, vamos ter:

V E = 1 4 ( θ ) 0 2 π

Aplicando os limites de integração, temos que V ( E ) vale:

V E = π 2

Passo 4

Agora que já obtemos o valor de V(E):

V E = π 2

Vamos calcular então o valor médio:

f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , z   d V

Onde,

f x , y , z = x 2 z + y 2 z

d V = d x d y d z

Como temos que o intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Vamos escrever d V como:

d V = d z d x d y

Substituindo na integral, temos:

f m e d = 2 π ∬ E ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 z + y 2 z d z d x d y

Simplificando temos que:

f m e d = 2 π ∬ E ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( x 2 + y 2 ) z   d z d x d y

Integrando em d z , vamos ter:

f m e d = 2 π ∬ E x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2 2 2   d x d y

Passo 5

Novamente vamos usar coordenadas polares para resolver a integral. Em coordenadas polares temos:

x = r cos ⁡ θ    

y = r   s e n   θ

d x d y = r d r d θ

Com variação de:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Devemos substituir na integral abaixo:

f m e d = 2 π ∬ E x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2 2 2   d x d y

Logo, vamos ter:

f m e d = 2 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 1 - r 2 2 2 r   d r d θ

Simplificando um pouco, temos:

f m e d = 1 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 - 2 r 5 + r 7 d r d θ

Agora é só começar a integrar. Integrando em d r , vamos ter:

f m e d = 1 π ∫ 0 2 π r 4 4 - r 6 3 + r 8 8 0 1 d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

f m e d = 1 π ∫ 0 2 π 1 4 - 1 3 + 1 8 d θ

Simplificando,

f m e d = 1 π ∫ 0 2 π 1 24 d θ

Agora vamos integrar em d θ . Integrando, temos:

f m e d = 1 24 π ( θ ) 0 2 π

Aplicando os intervalos de integração, temos que o f m e d vale:

f m e d = 1 12

Resposta

f m e d = 1 12

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