3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.

a. B é o círculo x^2 + y^2 ≤ 1 e y = x + 2 a reta.

Passo 1

O teorema de Pappus diz que

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância entre o centro do nosso objeto a reta

A Area do objeto que estamos rotacionando

Passo 2

Neste item vamos calcular

x 2   +   y 2   ≤   1  

Na reta

  y   =   x   +   2

De cara podemos Calcular a área da nossa superfície.

A = π r 2 → π

Passo 3

Geometricamente teremos

Queremos no caso a distancia do Ponto (0,0) ate a reta. E como já vimos em geometria analítica, a menor distancia é a que é perpendicular a reta e transpassa o ponto, ou seja a reta cinza

Logo podemos concluir que

r - = 2

Assim

V = 2 π r - A

V = 2 π 2 π

V = 2 2 π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

V = 2 2 π 2

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