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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 87

Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Precisamos mostrar que w=f(u) satisfaz a equação de onda, dado u   = a ( x + c t ) e f é uma função diferenciável de u.

A equação da onda é

∂ 2 w ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 w ∂ x 2

Passo 2

∂ t w = ∂ t f u = ∂ t f a x + c t = f ' u ⋅ ∂ t a x + c t = f ' u ⋅ a c ∂ t t w = ∂ t f ' u ⋅ a c = ∂ t f ' u a c + f ' ( u ) ∂ t ( a c ) = f ' ' ( u ) ( a c ) 2 ∂ x w = ∂ x f u = ∂ x f a x + c t = f ' u ⋅ ∂ x a x + c t = f ' u ⋅ a ∂ x x w = ∂ x f ' u ⋅ a = ∂ x f ' u a + f ' ( u ) ∂ x ( a ) = f ' ' ( u ) ( a ) 2 ∂ t t w = f ' ' ( u ) ( a c ) 2 = c 2 f ' ' ( u ) ( a ) 2 = c 2 ∂ x x w

Resposta

Usamos o fato de que se f é uma função de u derivada de f(u) por t ou x é na verdade f'(u).

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