A energia média E (em k c a l ) necessária para um lagarto caminhar ou percorrer uma distância de 1   k m foi modelada pela equação:

E m ,   v = 2,65 m 0,66 + 3,5 m 0,75 v

onde m é a massa corporal do lagarto (em g r a m a s ) e v é sua velocidade (em k m h ). Calcule E m ( 400 ,   8 ) e E v ( 400 ,   8 ) e interprete suas respostas.

Passo 1

Fala ai galerinha! Tranquilo?

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da energia média E em relação à massa m e à velocidade v quando a massa é 400.8 gramas. Essas derivadas parciais nos fornecem informações sobre como a energia média varia com a massa corporal e a velocidade do lagarto em um determinado ponto.

Como faremos para encontrar E m ( 400.8 ) e E v ( 400.8 ) ?

Se liga! Usamos a regra da cadeia para derivadas parciais.

Primeiro, derivamos a função E em relação a mmm e v separadamente e, em seguida, substituímos m = 400.8 nas derivadas parciais resultantes. Isso nos dá a taxa de variação da energia média com relação à massa e à velocidade do lagarto em um determinado ponto.

Mãos a obra!

Passo 2

O enunciado quer que calculemos duas derivadas parciais, pessoal. Decodificando-as para a notação que conhecemos, teremos:

E m ( 400 ,   8 ) = ∂ E ∂ m

E v 400 ,   8 = ∂ E ∂ v

A grande questão aqui é que nosso resultado não será uma função, será um valor para E , uma vez que temos que aplicar o ponto ( 400 ,   8 ) nas derivadas.

Passo 3

Iniciando os processos, teremos:

∂ E ∂ m = 2,65.0,66 m 0,66 - 1 + 3,5.0,75 . m 0,75 - 1 v

∂ E ∂ m = 1,749 m 0,34 + 2,625 v m 0,25

Aplicando o ponto:

∂ E ∂ m 400 ,   8 = 1,749 400 0,34 + 2,625 8 . 400 0,25

∂ E ∂ m 400 ,   8 = 0,22808 + 0,0733

∂ E ∂ m 400 ,   8 ≈ 0,3014   k c a l

O resultado positivo indica que a energia aumenta com a massa, enquanto um valor negativo indicaria uma diminuição.

Passo 4

Para a segunda derivada:

O primeiro termos não está em função de v, logo esta parte dará zero. Sobrará apenas a derivada da segunda parte da função.

∂ E ∂ v = - 3,5 . m 0,75 v ²

Aplicando o ponto:

∂ E ∂ v 400 ,   8 = - 3,5.400 0,75 8 2 = - 4,89

∴ ∂ E ∂ v 400 ,   8 ≈ - 4,89   k c a l

O resultado negativo indica que a energia diminui com a velocidade, o que faz sentido, pois à medida que a velocidade aumenta, o lagarto precisa de menos energia para percorrer a mesma distância.

Resposta

∂ E ∂ m 400 ,   8 ≈ 0,3014   k c a l

∂ E ∂ v 400 ,   8 ≈ - 4,89   k c a l

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados