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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 57

Erro carregado na mudança de coordenadas

a. Se x = 3 ± 0,01 e y = 4 ± 0,01, conforme mostrado, com

aproximadamente qual precisão você pode calcular as

coordenadas polares r e u do ponto P(x, y) a partir das fórmulas r2 = x2 + y2 e u = tg–1 (y/x)? Expresse seus cálculos

como variações percentuais dos valores que r e u possuem

no ponto (x0, y0) = (3, 4).

b. No ponto (x0, y0) = (3, 4), os valores de r e u são mais suscetíveis a variações em x ou a variações em y? Justifique sua

resposta

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nos é mostrado um gráfico e perguntado:(a) Se x = 3 ± 0,01 e y = 4 ± 0,01 como mostrado no gráfico, o quão preciso podemos calcular então as coordenadas polares r , θ do ponto P ( x , y ) das fórmulas r 2 = x 2 + y 2 e θ = t a n - 1 ⁡ y x ? Também expressaremos os valores das mudanças percentuais que r , θ tem no ponto x 0 , y 0 = ( 3,4 ) (b) No ponto x 0 , y 0 = ( 3,4 ) os valores de r , θ mas sensíveis à mudanças em x ou em y ?

Passo 2

(a)Começaremos derivando a função r 2 = x 2 + y 2 : 2 r d r = 2 x d x + 2 y d y Rearranjando temos:

d r = x r d x + y r d y

Aplicando o ponto temos:

d r ( 3,4 ) = 3 5 ( ± 0,01 ) + 4 5 ( ± 0,01 ) d r ( 3,4 ) = ± 0,07 5 d r ( 3,4 ) = ± 0,014

O erro da variável r é:

d r r × 100 = ± 0,014 5 × 100 = 0,28 %

Passo 3

Para θ = t a n - 1 ⁡ y x teremos:

d θ = - y x 2 y x 2 + 1 d x + 1 x y x 2 + 1 d y

Rearranjando a função chegamos a:

d θ = - y y 2 + x 2 d x + x y 2 + x 2 d y

Aplicando o ponto dado temos:

d θ ( 3,4 ) = - 4 25 ( ± 0,01 ) + 3 25 ( ± 0,01 ) d θ ( 3,4 ) = ∓ 0,04 25 + ± 0,03 25 d θ = ± 0,07 25 ≈ ± 0,0028

Temos também que:

θ = t a n - 1 ⁡ 4 3 ≈ 0,927255218

Passo 4

Assim, o erro associado a θ = t a n - 1 ⁡ y x é:

d θ θ × 100 = ± 0,0028 0,927255218 × 100 ≈ 0,30 %

Passo 5

(b)Resposta: o raio ré mais sensível a mudanças em y , e o ângulo θ é mais sensível a mudanças em x .

Resposta

Resposta nos passos.

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