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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 12

Esboce o gráfico.

y = (x^3)/(x^2 - 1)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = x != 1 , - 1 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = ((x^3)/(x^2 - 1))^' = ((x^3)^' (x^2 - 1) - (x^3) (x^2 - 1)^')/([x^2 - 1]^2) = (3 x^2 (x^2 - 1) - (x^3) 2 x)/((x^2 - 1)^2) = (3 x^4 - 3 x^2 - 2 x^4)/((x^2 - 1)^2) = (x^4 - 3 x^2)/((x^2 - 1)^2)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

x^4 - 3 x^2 = 0 -> x^2 (x^2 - 3) = 0 -> x = 0 e x = +- sqrt(3)

x^2 - 1 = 0 -> x = +- 1

Vamos analisar o sinal da expressão:

Temos que f^' (x) > 0 :

]- oo , - sqrt(3)] e [sqrt(3) , + oo[

E f^' (x) < 0 :

[- sqrt(3) , - 1[ , ]- 1,0] , [0,1[ e [1 , sqrt(3)[

Temos que:

f é estritamente crescente em ]- oo , - sqrt(3)] e [sqrt(3) , + oo[

f é estritamente decrescente em [- sqrt(3) , - 1[ , ]- 1,0] , [0,1[ e [1 , sqrt(3)[

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = ((x^4 - 3 x^2)/((x^2 - 1)^2))^' = ((x^4 - 3 x^2)^' ((x^2 - 1)^2) - (x^4 - 3 x^2) ((x^2 - 1)^2)^')/([(x^2 - 1)^2]^2) = ((4 x^3 - 6 x) ((x^2 - 1)^2) - (x^4 - 3 x^2) (2 (x^2 - 1) (2 x)))/([(x^2 - 1)^2]^2) = (2 x^3 + 6 x)/((x^2 - 1)^3)

f^(' ') (x) > 0 em - 1 < x < 0 e x > 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x < - 1 e 0 < x < 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 0 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) (x^3)/(x^2 - 1) = + oo

underset(x -> - oo)(lim) (x^3)/(x^2 - 1) = - oo

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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